Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 17

Encontre f^' ( x ) : f (x) = (s e n (x) * s e c (x))/(1 + x t g ( x ))

Passo 1

Fala galeraa, temos uma divisãozinha, logo já temos um spoiler de que vamos usar a regra do quociente.

Vamos lembrar que regra é essa?

(d)/(d x) ((f (x))/(g ( x ))) = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

Nesse caso, nossa f (x) = s e n (x) * s e c (x) e g (x) = 1 + x t g ( x ) .

Vamos relembrar umas derivadas:

(d)/(d x) (s e n (x)) = cos (x)

(d)/(d x) (s e c (x)) = s e c (x) * t g (x)

(d)/(d x) (t g (x)) = sec^2 (x)

Essas derivadas podem ser resolvidas através daquele limite grandão, mas são muito grandes e gastam tempo. Por isso as derivadas trigonométricas são tabeladas, como essas duas ai em cima.

Outras coisinhas que precisamos recordar:

s e c^2 (x) = 1 + t g^2 (x)

sec (x) = (1)/(cos (x))

Passo 2

Mas antes de jogar logo na nossa regrinha, vamos resolver as derivadas que vamos usar:

(d)/(d x) (s e n (x) * s e c (x))

Para resolver, vamos ter que usar a regra do produto, que nada mais é que derivar a primeira funçãozinha( s e n (x) ) e multiplicar pela segunda ( s e c (x) ) e somar com a primeira multiplicada pela derivada da segunda:

(d)/(d x) (s e n (x) * s e c (x)) = (sen (x))^' * (s e c (x)) + (s e n (x)) (s e c (x)) '

= cos (x) * sec (x) + s e n ( x ) ( s e c (x) * t g (x) )

= cos (x) * (1)/(c o s (x)) + s e n (x) ((1)/(c o s (x)) * (s e n (x))/(cos (x)))

= 1 + ((sen^2 (x))/(cos^2 (x)))

= 1 + t g^2 (x)

= s e c^2 ( x )

A próxima derivada que precisamos resolver:

(d)/(d x) (1 + x t g ( x) )

A derivada da soma é igual à soma das derivadas:

(d)/(d x) (1 + x t g ( x) ) = (d)/(d x) (1) + (d)/(d x) (x t g ( x) )

Derivada de constante é 0, e nos sobra apenas:

(d)/(d x) (x t g ( x) )

Pela regra do produto:

(d)/(d x) (x t g ( x) ) = (x)^' * (t g (x)) + ( x ) * (t g (x)) '

= t g (x) + x s e c^2 ( x )

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia:

f^' (x) = ((s e n (x) * s e c (x))^' * (1 + x t g (x)) - (s e n (x) * s e c (x)) * (1 + x t g (x)) ')/((1 + x t g (x))^2)

(( s e c^2 (x) ) * (1 + x t g (x)) - (s e n (x) * s e c (x)) * ( t g (x) + x s e c^2 ( x ) ))/((1 + x t g (x))^2)

Passando tudo pra forma s e n ( x ) e c o s ( x ) :

(((1)/(cos^2 (x))) * (1 + (x s e n (x))/(cos (x))) - (s e n (x) * (1)/(c o s (x))) * ((s e n (x))/(cos (x)) + x (1)/(cos^2 (x))))/((1 + x t g (x))^2)

(((1)/(cos^2 (x)) + (x s e n (x))/(cos^3 (x))) - ((s e n ( x ))/(c o s (x))) * ((s e n (x))/(cos (x)) + x (1)/(cos^2 (x))))/((1 + x t g (x))^2)

(((1)/(cos^2 (x)) + x (s e n (x))/(cos^3 (x))) - ((sen^2 ( x ))/(cos^2 ( x )) + x (s e n ( x ))/(cos^3 (x))))/((1 + x t g (x))^2)

(((1)/(cos^2 (x))) - ((sen^2 ( x ))/(cos^2 ( x ))))/((1 + x t g (x))^2)

(((1 - sen^2 ( x ))/(cos^2 (x))))/((1 + x t g (x))^2)

(((cos^2 (x))/(cos^2 (x))))/((1 + x t g (x))^2)

Assim, temos:

f^' (x) = (1)/((1 + x t g (x))^2)

Resposta

f^' (x) = (1)/((1 + x t g (x))^2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Mostre que, sobre um círculo de raio r o ângulo central θ que subentende um arco de comprimento 1,5 vezes o comprimento L de sua corda satisfaz a equação θ = 3s e nθ 2 (ver Figura Ex-33).(b) Use o
Use o Método de Newton para aproximar todos os valores reais de y que satisfazem a equação dada para o valor de x indicado. x y - cos ⁡ 1 2 x y = 0 ; x = 2
Uma anuidade é uma sequência de pagamentos iguais que são pagos ou recebidos em intervalos regulares de tempo. Por exemplo, podemos querer depositar quantias iguais ao final de cada ano em uma poupanç
34-Um satélite de observação pode ver somente uma parte da superfície da Terra. Ele tem sensores de horizonte que permitem calcular o ângulo θ , o qual pode ser visto na figura abaixo. Suponha que a T
29- Encontre todos os pontos no intervalo [ - 2 π ,2 π ] nos quais o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal.a) f ( x ) = s e nx b) f ( x ) = x + cos ⁡ x c) f x = t g x d) f x = sec ⁡ x