Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 17
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Passo 1
Muito bem, para resolver essa diferenciação precisamos obervar que existe uma função dividindo outra função. O que fazemos quando isso acontece?
Primeira coisa, usar a Regra do Quociente. Para isso, vamos renomear as duas funções chamando-as de e . Aqui, chamaremos:
A Regra do Quociente pode ser dada pela seguinte fórmula:
Já sabemos como calcular a derivada de em relação a , mas para facilitar calcularemos cada derivada separadamente. Isso significa que vamos precisar da derivada de e , certo?
Passo 2
Derivaremos primeiro a função , que basicamente é um polinômio, a derivada de um polinômio pode ser dada pela seguinte fórmula:
Se:
A derivada será:
Para facilitar a nomenclatura, chamaremos a derivada de .
Agora, nós derivamos a função , e chamaremos sua derivada de .
Temos que :
Só para relembrar alguns conceitos de propriedades de derivadas que serão usados para resolução de :
Primeiro: A derivada de uma constante é sempre zero.
Segundo: A derivada de um logaritmo pode ser dada por:
No caso da nossa derivada, A função é composta por dois termos, e a derivada de uma função com mais de um termo é a soma das derivadas. Fica assim:
Aplicando os conceitos de derivada, temos:
Agora, podemos aplicar os valores calculados na Regra do Quociente.
Passo 3
Como nós calculamos que:
E
Agora, aplicamos na fórmula do quociente:
Podemos fazer alguns cortes de termos iguais na equação, o resultado da derivada é:
Foi tranquilo, né?