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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 40 b

Encontre:

y = l o g_l n ( x ) e

Passo 1

Para calcular exercícios como esse, vamos transformar os termos em função do logaritmo natural.

Depois, resolveremos o exercício com diferenciação logarítmica.

O primeiro passo desse exercício é analisar a função e ver o que pode ser feito:

y = l o g_ln (x) e

Agora, podemos transformar em logaritmo natural.

Isso significa que iremos mudar a base para o valor de e (número de Euler). Vamos fazer com que a base e o logaritmando se transformem na fração de novos logaritimandos de base e .

Então, eu posso dizer que:

l o g_(1)/(x) e = (l o g_e e)/(l o g_e (l n ( x )))

Logo:

l o g_(1)/(x) e = (l n ( e ))/(l n (l n ( x ))) = (1)/(l n (l n ( x )))

Agora, podemos começar o processo de diferenciação.

Passo 2

Vamos diferenciar a função :

y = (1)/(l n (l n ( x )))

Aplicando a diferenciação em ambos os lados:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) . [(1)/(l n (l n ( x )))]

Vamos inverter a fração do logaritmo para facilitar o cálculo:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) . [(1)/(l n (l n ( x )))]

Para resolver essa derivada usamos a derivada do quociente :

(d y)/(d x) = (f^' g - g ' f)/(g^2)

Onde:

f = 1

g = l n (l n ( x ))

Resolvendo:

(d y)/(d x) = (f^' g - g ' f)/(g^2) = (0 - ( (1)/(x ( ln (x) )) ))/((ln (l n ( x )))^2)

(d y)/(d x) = (- 1)/(x . l n ( x ) (ln (x))^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (- 1)/(x . l n ( x ) (ln (x))^2)

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