Encontre:

y = log_ln(x)e

Passo 1

Para calcular exercícios como esse, vamos transformar os termos em função do logaritmo natural.

Depois, resolveremos o exercício com diferenciação logarítmica.

O primeiro passo desse exercício é analisar a função e ver o que pode ser feito:

y = l o g ln ⁡ x e

Agora, podemos transformar em logaritmo natural.

Isso significa que iremos mudar a base para o valor de e (número de Euler). Vamos fazer com que a base e o logaritmando se transformem na fração de novos logaritimandos de base e .

Então, eu posso dizer que:

l o g 1 x e = l o g e e l o g e l n ⁡ ( x )

Logo:

l o g 1 x e = l n ⁡ ( e ) l n l n ⁡ ( x )   = 1 l n l n ⁡ ( x )

Agora, podemos começar o processo de diferenciação.

Passo 2

Vamos diferenciar a função :

y = 1 l n l n ⁡ ( x )

Aplicando a diferenciação em ambos os lados:

d y d x = d d x . 1 l n l n ⁡ ( x )

Vamos inverter a fração do logaritmo para facilitar o cálculo:

d y d x = d d x . 1 l n l n ⁡ ( x )

Para resolver essa derivada usamos a derivada do quociente :

d y d x = f ' g - g ' f g 2

Onde:

f = 1

g = l n l n ⁡ ( x )

Resolvendo:

d y d x = f ' g - g ' f g 2 = 0 - ( 1 x ( ln ⁡ x ) ) ln ⁡ l n ⁡ ( x ) 2

d y d x = - 1 x . l n ⁡ ( x ) ln ⁡ x 2

Resposta

d y d x = - 1 x . l n ⁡ ( x ) ln ⁡ x 2

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