Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 40
Faça uma conjectura sobre a derivada, calculando algumas delas e observando o padrão resultante.
Passo 1
A ideia aqui é que a gente precisa calcular sucessivamente a derivada dessa função, e tentar identificar um padrão. Com esse padrão, a gente consegue dizer quanto vale essa derivada aí sem precisar calcular essas 100 vezes. Belezinha? Vamos começar!
Passo 2
Vamos começar pela derivada de cosseno:
Agora vamos derivar a função de novo algumas vezes para ver no que dá:
Ih olha só, a gente acabou voltando para o cosseno. Se a gente continuar derivando, vamos chegar no cosseno de novo em algum momento. A gente pode tentar estimar esse momento sem precisar calcular tudo de novo.
Passo 3
Vamos fazer essa estimativa então. Se a gente organizar nossas derivadas pelo número de vezes que a função cosseno foi derivada, assim:
Vemos que encontramos a função cosseno de quatro em quatro vezes que derivamos a própria função cosseno. Agora vamos voltar para o nosso enunciado. Precisamos achar:
A gente sabe que em nós chegamos no cosseno de novo, porque é um múltiplo de . Então podemos dizer que:
Ufa! Conseguimos!