Enunciado

Faça uma conjectura sobre a derivada, calculando algumas delas e observando o padrão resultante.

d 87 d x 87 s e n   x

Passo 1

A ideia aqui é que a gente precisa calcular sucessivamente a derivada dessa função, e tentar identificar um padrão. Com esse padrão, a gente consegue dizer quanto vale essa derivada aí sem precisar calcular essas 87 vezes. Belezinha? Vamos começar!

Passo 2

Vamos começar pela derivada de seno:

f ' x = cos ⁡ x

Agora vamos derivar a função de novo algumas vezes para ver no que dá:

f ' ' x = - s e n   x

f ' ' ' x = - s e n   x ' = - cos ⁡ x

f ( 4 ) x = - ( cos ⁡ x ) ' = - ( - s e n   x ) = s e n   x

Ih olha só, a gente acabou voltando para o seno. Se a gente continuar derivando, vamos chegar no seno de novo em algum momento. A gente pode tentar estimar esse momento sem precisar calcular tudo de novo.

Passo 3

Vamos fazer essa estimativa então. Se a gente organizar nossas derivadas pelo número de vezes que a função seno foi derivada, assim: f x = s e n   x ,     n = 0

f ( n ) x = f ' x = cos ⁡ x ,     n = 1

f ( n ) x = f ' ' x = - s e n   x ,     n = 2

f ( n ) x = f ' ' ' x = - cos ⁡ x ,     n = 3

f ( n ) x = f ( 4 ) x = s e n   x ,     n = 4

Vemos que encontramos a função seno de quatro em quatro vezes que derivamos a própria função seno. Agora vamos voltar para o nosso enunciado. Precisamos achar:

d 87 d x 87 s e n   x

A gente sabe que em d 88 d x 88 s e n   x nós chegamos no seno de novo, porque 88 é um múltiplo de 4 . Mas queremos uma derivada a menos. É só olhar para a função que encontramos logo antes de voltar ao seno, através das derivadas, que é - cos ⁡ x . Então podemos dizer que:

d 87 d x 87 s e n   x = - cos ⁡ x

Ufa! Conseguimos!

Resposta

d 87 d x 87 s e n   x = - cos ⁡ x

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Calcular a derivada.f (theta) = a^(c o t g theta) , a0
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