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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 23

Encontre ((d y)/(d x)|_x = 1 :

y = ((3 x + 2)/(x)) ( x^(- 5) + 1 )

Passo 1

Primeiro, vamos derivar para depois substituir x por 1 no resultado, ok?

Para encontrar a derivada dessa função, vamos multiplicar os dois termos e usar a regra do quociente:

y = ((3 x + 2)/(x)) ( x^(- 5) + 1 )

Multiplicando:

y = (3 x^(- 4) + 3 x + 2 x^(- 5) + 2)/(x)

Pela regra do quociente:

f^' (x) = ((3 x^(- 4) + 3 x + 2 x^(- 5) + 2)^' (x) - (3 x^(- 4) + 3 x + 2 x^(- 5) + 2) (x)^')/(x^2)

f^' (x) = ((- 12 x^(- 5) + 3 - 10 x^(- 6)) (x) - (3 x^(- 4) + 3 x + 2 x^(- 5) + 2) (1))/(x^2)

f^' (x) = (- 12 x^(- 4) + 3 x - 10 x^(- 5) - 3 x^(- 4) - 3 x - 2 x^(- 5) - 2)/(x^2)

:.

f^' (x) = (- 12 x^(- 5) - 15 x^(- 4) - 2)/(x^2)

Passo 2

Agora, falta só substituir x por 1 na derivada que encontramos:

f^' (x) = (- 12 x^(- 5) - 15 x^(- 4) - 2)/(x^2)

f^' (1) = (- 12 xx 1^(- 5) - 15 xx 1^(- 4) - 2)/(1^2) = (- 29)/(1) = - 29

Pronto!

Resposta

f^' (1) = - 29

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