Enunciado

Encontre g ' ( 4 ) , dado que f (4) = 3 e f^' (4) = - 5 .

(a) g (x) = sqrt(x) f ( x )

(b) g (x) = (f (x))/(x)

Passo 1

Se o problema está nos pedindo o valor da derivada de g ( x ) quando x = 4 , primeiro temos que derivar a função e depois substituir o ponto que queremos, ok?

Passo 2

(a) g (x) = sqrt(x) f ( x )

Primeiro, vamos derivar:

g (x) = sqrt(x) f ( x )

Pela regra do produto:

g^' (x) = (sqrt(x))^' ( f (x) ) + ( sqrt(x) ) ( f^' (x) )

g^' (x) = ((1)/(2 sqrt(x))) (f (x)) + (sqrt(x)) ( f^' (x) )

E no ponto x = 4 :

g^' (4) = ((1)/(2 sqrt(4))) (f (4)) + ( sqrt(4) ) ( f^' (4) ) = ((1)/(4)) (f (4)) + ( 2 ) ( f^' (4) )

Como o enunciado nos deu que f (4) = 3 e f^' (4) = - 5 :

g^' (4) = ((1)/(4)) (3) + (2) (- 5) = (3)/(4) - 10

:.

g^' (4) = - (37)/(4)

Passo 3

(b) g (x) = (f (x))/(x)

Primeiro, vamos derivar:

g (x) = (f (x))/(x)

Pela regra do quociente:

g^' (x) = ((f^' (x)) (x) - (f (x)) (x)^')/(x^2)

g^' (x) = ((f^' (x)) (x) - (f (x)) ( 1 ))/(x^2)

g^' (x) = ((f^' (x)) (x) - (f (x)))/(x^2)

E no ponto x = 4 :

g^' (4) = ((f^' (4)) (4) - (f (4)))/(4^2)

Como o enunciado nos deu que f (4) = 3 e f^' (4) = - 5 :

g^' (4) = (( - 5 ) (4) - 3)/(4^2)

:.

g^' (4) = - (23)/(16)

Resposta

(a) g^' (4) = - (37)/(4)

(b) g^' (4) = - (23)/(16)

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