Encontre R'(0) , onde

R(x) = (x - 3 * x^3 + 5 * x^5) / (1 + 3 * x^3 + 6 * x^6 + 9 * x^9)

Dica: em vez de encontrar R'(x) primeiro, deixe f(x) ser o numerador e g(x) , o denominador de R(x) , e compute de R'(0) de f(0) , f'(0), g(0) e g'(0) .

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão da pra gente a função

R x = x - 3 x 3 + 5 x 5 1 + 3 x 3 + 6 x 6 + 9 x 9

E pede pra gente encontrar R ' 0 . Ou seja, queremos encontrar a derivada dessa função no ponto x = 0 .

Além disso, a própria questão da uma super dica pra gente. Ela diz o seguinte:

“em vez de encontrar R ' ( x ) primeiro, deixe f x ser o numerador e g ( x ) , o denominador de R ( x ) , e compute de R ' ( 0 ) de f ( 0 ) , f ' 0 , g ( 0 ) e g ' ( 0 )

Ou seja, ela está dizendo pra gente olhar para nossa função como sendo uma divisão entre duas outras funções.

Sendo assim, poderemos usar a regra do quociente.

d d x f x g x = g x d d x f x - f x d d x g x g x 2

Então é exatamente isso que faremos.

Vem que te mostro tudo no passo a passo.

Passo 2

Precisamos derivar esta função. Antes de tudo devemos notar que há uma divisão entre os termos. Então o que usamos?

A Regra do Quociente, certo? Vamos lembrar:

d d x f x g x = g x d d x f x - f x d d x g x g x 2

Se chamarmos:

f x = x - 3 x 3 + 5 x 5

f 0 = 0

g x = 1 + 3 x 3 + 6 x 6 + 9 x 9

g 0 = 1

As derivadas podem ser feitas usando a regra do expoente em cada termo. Lembrando que

d x n d x = n x n - 1  

Assim:

d d x f x = 1 - 9 x 2 + 25 x 4

d d x f 0 = 1  

d d x g x = 9 x 2 + 36 x 5 + 81 x 8

  d d x g 0 = 0

Agora que já temos tudo, basta substituir, na regra do quociente.

Passo 3

Lembrando que

d d x f o g o = g o d d x f 0 - f 0 d d x g 0 g 0 2

Substituindo:

d d x R 0 = 1.1 - 0.0 1 2 = 1

E prontinho. Essa é nossa derivada.

Resposta

R ' ( 0 ) = 1

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