Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 40
- Se , encontre e .
- Verifique se sua resposta em (a) é razoável, comparando os gráficos de , e .
Passo 1
Oiee, bora resolver comigoo
A regra do produto é uma regra fundamental no cálculo diferencial que nos permite derivar o produto de duas funções. No contexto deste exercício, a regra do produto será aplicada para encontrar a derivada da função .
A regra do produto afirma que a derivada de um produto de duas funções é dada pela derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Matematicamente, se são funções de , então:
Aplicando esta regra à função , nós temos e .
Portanto, a derivada de é dada por:
Onde representa a derivada de em relação a e representa a derivada de em relação a
Depois de calcular essas derivadas, nós substituímos de volta na equação para obter a expressão final para Essa regra é essencial no cálculo diferencial, pois nos permite encontrar a derivada de uma grande variedade de funções, especialmente quando elas são o produto de duas ou mais funções.
Passo 2
Bom, precisamos derivar esta função. Antes de tudo devemos notar que há uma multiplicação entre os termos. Então o que usamos?
Se chamarmos:
Derivando:
Substituindo:
Isolando :
Então:
Passo 3
Agora temos uma nova função:
Também possui uma multiplicação entre as funções, então vamos resolver da mesma maneira que
Chamamos:
Derivando:
Substituindo:
Isolando :
Ou seja:
E pronto! Terminamos a letra a, e agora vamos para a b!
Passo 4
Desenhando o gráfico, onde verde representa f, laranja f’ e rosa f’’:
A derivada primeira nos mostra a inclinação da reta tangente ao gráfico da função.
Então, pelo gráfico, quando a derivada é positiva, a reta tangente tem inclinação crescente e, consequentemente, a função também cresce.
Quando a inclinação diminui, a função decresce. Quando a derivada primeira é zero, a reta tangente possui inclinação horizontal naquele ponto!
Quando a derivada segunda é igual a zero, a derivada primeira possui uma inclinação tangente horizontal.
A mesma análise pode ser feita para a derivada segunda, já que quando a derivada é positiva, a reta tangente tem inclinação crescente e, consequentemente, a função também cresce.
Quando a inclinação diminui, a função decresce.
Com relação à função, quando f’’ é negativo o gráfico é côncavo para baixo e côncavo para cima quando f’’ é positivo.