Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 34

Encontre as equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto especificado.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva , no ponto .

A inclinação da reta tangente é obtida pela derivada da função, lembra?

E a equação da reta tangente é dada por:

Então precisamos achar a derivada da função e substituir na equação junto com o nosso ponto .

Em seguida, vamos verificar a equação da reta normal, sabendo que ela é perpendicular à reta tangente e isso nos dá a relação entre as inclinações das retas:

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função , usando a Regra do Quociente:

Temos:

Aplicando a distributiva na multiplicação:

E simplificando:

Passo 3

Então, no ponto , vamos ter:

Isso significa que a reta tangente no ponto tem inclinação zero. Colocando isso na equação da reta, que nós vimos lá no passo , vamos ter:

E a nossa reta tangente é apenas:

Passo 4

Nós também queremos a reta normal ao ponto, certo? E sabemos que a reta tangente e a reta normal são perpendiculares entre si. Então, temos a relação:

Mas no ponto , substituindo a inclinação da reta tangente, teríamos:

Isso significa que a inclinação da reta normal é indefinida (vertical), porque vai para infinito. E a equação da reta normal é, portanto, , já que é uma linha vertical passando pelo ponto .