Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.8 - Ex. 25

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui queremos encontrar a derivada da função dada usando a definição, e também queremos encontrar os domínios da derivada e da função, o domínio são para quais valores de aquela função existe.

Vamos lá, para calcular pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:

Passo 2

Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá:

Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!

Passo 3

Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

Agora calma, não se assuste, vamos fazer algumas manipulações e vai da tudo certo. Vamos multiplicar a expresão pelo conjugado do numerador, já que temos raíz alí no meio, vamos lá, com calma:

Multiplicando e divindo por , para que possamos simplificar posteriormente:

Realizando os produtos:

Simplificando :

Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que tende:

Passo 4

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

A função tem uma raíz, então a expressão dentro dela deve ser maior que , ou igual a , assim devemos ter que

então o domínio é.

Já com a derivada da função, , temos o domínio em , aqui além de também termos a raíz tendo a mesma limitação de , temos no denominador, o que nos impede do valor assumir , pois isso nos faria ter um denominador igual a .