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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.8 - Ex. 27

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

G t = 4 t t + 1

Passo 1

Opa, e aí, tudo bem?! Aqui temos a função:

G t = 4 t t + 1

E precisamos calcular G ' ( t ) pela definição, vamos ter que relembrar a fórmula:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Aqui a gente vai precisar substituir a função na fórmula acima e manipular ela até sumir esse h multiplicando sozinho no denominador e aí sim, calculamos o limite!

Isso porque se a gente for calcular o limite de cara vai dar indeterminação, por causa da divisão por zero.

Ahh, a gente também precisa dizer quais são os domínios de G t e G ' t . O domínio são todos os números que o t podem assumir nas funções!

Passo 2

Vamos substituir, temos que:

G t = 4 t t + 1

G t + h = 4 t + h t + 1

Substituindo:

G ' t = lim h → 0 ⁡ G t + h - G t h = lim h → 0 ⁡ 4 t + h t + h + 1 - 4 t t + 1 h

Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!

Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

G ' t = lim h → 0 ⁡ 4 t + h t + h + 1 - 4 t t + 1 h = lim h → 0 ⁡ 4 t + 4 h t + h + 1 - 4 t t + 1 h

Subindo esse h :

= lim h → 0 ⁡ 4 t + 4 h t + h + 1 - 4 t t + 1 1 h

Fazendo o m m c :

lim h → 0 ⁡ 4 t + 4 h t + 1 - 4 t t + h + 1 t + h + 1 t + 1 1 h

Agora a gente começa abrindo os parênteses do numerador:

lim h → 0 ⁡ 4 t + 4 h + 4 t 2 + 4 t h - 4 t 2 + 4 t h + 4 t t + h + 1 t + 1 1 h

Agora a gente pode cortar alguns termos:

lim h → 0 ⁡ 4 h t + h + 1 t + 1 1 h

Agora sim, podemos cortar o h :

lim h → 0 ⁡ 4 t + h + 1 t + 1

Passo 3

Finalmente podemos calcular o limite:

G ' t =   lim h → 0 ⁡ 4 t + h + 1 t + 1 = 4 t + 0 + 1 t + 1

Agora é só dar uma arrumadinha:

G ' ( t ) = 4 t + 1 2

Passo 4

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

G t = 4 t t + 1

G ' ( t ) = 4 t + 1 2

Com a função G t   devemos nos preocupar com o denominador, que não pode ser igual a 0 , assim devemos ter que:

t + 1 ≠ 0 → t ≠ - 1

Então o domínio é - ∞ , - 1 e - 1 , ∞ .

Na derivada temos o mesmo problema com o denominador, então:

t + 1 2 ≠ 0

t + 1 ≠ 0

t ≠ - 1

Temos a mesma restrição, assim também o mesmo domínio - ∞ , - 1 e - 1 , ∞ .

Resposta

G ' x = 4 t + 1 2

Domínio de f = - ∞ , - 1 e - 1 , ∞

Domínio de f ' = - ∞ , - 1 e - 1 , ∞

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