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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 55

Se f x = 2 x 2 - x 3 , encontre f ' x , f ' ' x , f ' ' ' x e f 4 x . Trace f , f ' , f ' ' e f ' ' ' em uma mesma tela. Os gráficos são consistentes com as interpretações geométricas destas derivadas?

Passo 1

Faaala, gente bonita! Tudo certo por aí? Vamos dar uma olhada nessa questão! Ela traz essa função aqui:

f x = 2 x 2 - x 3

O enunciado pede pra calcularmos todas essas derivadas aqui: f ' x , f ' ' x , f ' ' ' x e f 4 x .

Segura o coração que ainda não acabou! Mas agora é mais tranquilo. Ele pede pra usarmos uma calculadora gráfica pra plotar os gráficos de f , f ' , f ' ' e f ' ' ' e checarmos se estão consistentes com a interpretação geométrica da derivada.

Beleza. Vamos utilizar a definição de derivadas pra calcular essas derivadas:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Mas e como fazemos pra calcular as derivadas de ordem superior?

Vamos pensar na derivada segunda, por exemplo. Só precisamos lembrar que a derivada segunda é a derivada da derivada. Então podemos dizer o seguinte:

f ' ' x = lim h → 0 ⁡ f ' x + h - f ' x h

As demais derivadas podem ser encontradas seguindo o mesmo raciocínio. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar, porque temos bastante coisa pra fazer!

Pra calcular a primeira derivada, vamos usar a definição:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Relembrando, a nossa função é essa aqui:

f x = 2 x 2 - x 3

E podemos dizer que:

f x + h = 2 x + h 2 - x + h 3

Aplicando no nosso limite, temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x + h 2 - x + h 3 - 2 x 2 + x 3 h

Realizando os produtos notáveis:

= lim h → 0 ⁡ 2 x 2 + 4 x h + 2 h 2 - x 3 - 3 x 2 h - 3 x h 2 - h 3 - 2 x 2 + x 3 h

Simplificando os termos semelhantes:

= lim h → 0 ⁡ 4 x h + 2 h 2 - 3 x 2 h - 3 x h 2 - h 3 h

Colocando o h em evidência:

= lim h → 0 ⁡ h 4 x + 2 h - 3 x 2 - 3 x h - h 2 h

Agora finalmente calculando o limite:

= lim h → 0 ⁡ 4 x + 2 h - 3 x 2 - 3 x h - h 2 →

→ f ' x = 4 x - 3 x 2

Boa! Vamos pra próxima derivada!

Passo 3

Agora, podemos calcular f ' ' ( x ) da seguinte maneira:

f ' ' x = lim h → 0 ⁡ f ' x + h - f ' x h

Encontramos no passo anterior o resultado:

f ' x = 4 x - 3 x 2

Podemos dizer que:

f ' x + h = 4 x + h - 3 x + h 2

Substituindo no nosso limite, temos:

f ' ' x = lim h → 0 ⁡ 4 x + h - 3 x + h 2 - 4 x + 3 x 2 h

Realizando o produto notável:

= lim h → 0 ⁡ 4 x + 4 h - 3 x 2 - 6 x h - h 2 - 4 x + 3 x 2 h

Simplificando os termos semelhantes:

= lim h → 0 ⁡ 4 h - 6 x h - h 2 h

Colocando h em evidência:

= lim h → 0 ⁡ h 4 - 6 x - h h

Calculando o limite:

= lim h → 0 ⁡ 4 - 6 x - h →

→ f ' ' x = 4 - 6 x

Uhuuul!! Estamos chegando lá! Próxima derivada, aqui vamos nós!

Passo 4

Seguindo o raciocínio anterior, calculamos f ' ' ' ( x ) com a expressão:

f ' ' ' x = lim h → 0 ⁡ f ' ' x + h - f ' ' x h

Descobrimos que:

f ' ' x = 4 - 6 x

E sabemos que:

f ' ' x + h = 4 - 6 x + h

Substituindo no limite, temos:

f ' ' ' x = lim h → 0 ⁡ 4 - 6 x + h - 4 + 6 x h

Fazendo a todas as simplificações, temos:

= lim h → 0 ⁡ 4 - 6 x - 6 h - 4 + 6 x h

= lim h → 0 ⁡ - 6 h h = lim h → 0 ⁡ - 6 →

→ f ' ' ' x = - 6

Descobrimos a terceira derivada. Só falta mais uma!!

Passo 5

Vamos calcular f 4 ( x ) assim:

f 4 x = lim h → 0 ⁡ f ' ' ' x + h - f ' ' ' x h

Sabemos que:

f ' ' ' x = - 6

E temos que:

f ' ' ' x + h = - 6

Substituindo na definição:

f 4 x = lim h → 0 ⁡ - 6 + 6 h = lim h → 0 ⁡ 0 h →

→ f 4 x = 0

Ufa! Conseguimos! Vamos agora pros gráficos.

Passo 6

Esboçando os gráficos, ficamos com (preto → f x , lilás → f ' x , vermelho → f ' ' x e rosa → f ' ' ' x ):

Para avaliarmos se faz sentido com o que encontramos, precisamos lembrar que a derivada de uma função representa a sua taxa de variação. Isso significa que:

→ Se a função for crescente, sua derivada será positiva.

→ Se a função for decrescente, sua derivada será negativa.

Percebemos que a função f x = 2 x 2 - x 3 , em preto, tem o seguinte comportamento:

→   É decrescente pra x < 0 ;

→   É crescente pra 0 < x < 4 3 ;

→ É decrescente pra x > 4 3 .

Isso significa que o gráfico da derivada f ' x , em lilás, precisa ter seus sinais da seguinte maneira:

→ Negativa pra x < 0 ;

→ Positiva pra 0 < x < 4 3 ;

→ Negativa pra x > 4 3 .

E é exatamente o que encontramos no gráfico. Vamos continuar a nossa análise!

Podemos ver que a derivada f ' x tem o seguinte comportamento:

→   É crescente pra x < 2 3 ;

→ É decrescente pra x > 2 3 .

Isso significa que o gráfico da segunda derivada f ' ' x , em vermelho, precisa ter seus sinais da seguinte maneira:

→ Positiva pra x < 2 3 ;

→ Negativa pra x > 2 3 .

Também está batendo com o que encontramos no gráfico! Só falta mais uma análise!

A segunda derivada f ' ' x apresenta o seguinte comportamento:

→ É decrescente para todos os valores de x .

Então os sinais da terceira derivada f ' ' ' x , em rosa, precisam se comportar assim:

→ Negativa para todos os valores de x .

Também é o que encontramos no gráfico! Oba!

Conseguimos finalizar a nossa análise!

Resposta

f ' x = 4 x - 3 x 2

f ' ' x = 4 - 6 x

f ' ' ' x = - 6

f 4 x = 0

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