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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 76

Dado que f^' (x) = sqrt(3 x + 4) e g (x) = x^2 - 1 , encontre F^' ( x ) se F (x) = f ( g (x) ) .

Passo 1

Sabendo pelo enunciado que F ( x ) é a composição das funções f e g , e, como queremos sua derivada, vai bastar que a gente aplique a regra da cadeia.

Como já sabemos de exercícios anteriores, pra derivar uma função composta, pela regra da cadeia, vamos derivando a função de fora pra dentro, multiplicando as derivadas que calculamos. Assim, temos:

F^' (x) = f^' ( g (x) ) * g^' ( x )

Passo 2

Pra começar, então, precisamos então de f^' ( g (x) ) . Temos a expressão pra f^' ( x ) e pra g ( x ) . Então, é só aplicar g ( x ) pra x na expressão de f ' ( x ) . Vamos ter:

f^' (g (x)) = sqrt(3 (x^2 - 1) + 4) =

= sqrt(3 x^2 - 3 + 4) =

= sqrt(3 x^2 + 1)

Passo 3

Agora, precisamos de g^' ( x ) . Então é só derivar g ( x ) que temos no enunciado. Teremos:

g^' (x) = 2 x - 0 =

= 2 x

Passo 4

Já temos então a expressão pra F^' ( x ) , que vai ser:

F^' (x) = sqrt(3 x^2 + 1) * 2 x =

= 2 x * sqrt(3 x^2 + 1)

Resposta

F^' (x) = 2 x * sqrt(3 x^2 + 1)

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