Faça alguns esboços para ilustrar os resultados do Exercício 80 e escreva um parágrafo dando uma explicação informal sobre o porquê de os resultados serem verdadeiros.

Passo 1

Comprovamos no exercício 80 que ao derivar uma função par, a função derivada vai se ímpar; a recíproca também vale.

Nisso, vamos pegar dois exemplos: os gráficos de uma função par e de uma função ímpar e os respectivos gráficos de suas derivadas.

A diferença entre as características de uma função ímpar e uma função par é a disposição dos gráficos com relação aos coordenados x e y . Enquanto a função par é simétrica em relação ao eixo y , a função ímpar é antissimétrica ao mesmo eixo.

Vamos compará-los e ter uma noção visual melhor de como isso acontece!

Passo 2

y = 1 3 x 3 e o de sua derivada, y ' = x 2 , função par, respectivamente:

Repara as características com relação à simetria do gráfico frente aos eixos coordenados!

Passo 3

Fazemos o mesmo, agora com uma função par y = cos ⁡ x e sua derivada y ' = - sin ⁡ x . Temos:

Mais uma vez, comparamos e vemos que, de novo, está obedecido o padrão de simetria pra funções pares e ímpares, de acordo com a paridade de cada função.

Resposta

Vide Passos 1, 2 e 3.

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Ache f " ( pi ) se f (x) = sqrt(2 + c o s x) .
Ache f ' ( x ) se f (x) = ( |x + 1| - | x | )^2 .
Use a regra da cadeia para provar que (a) a derivada de uma função par é uma função ímpar e (b) a derivada de uma função ímpar é uma função par, desde que essas derivadas existam.
Deduza a fórmula da derivada da função cosseno usando a fórmula da derivada da função seno, a regra da cadeia e as identidades cos ⁡ x = s e nπ 2 - xes e nx = cos ⁡ π 2 - x
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = tan