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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 69

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

69. y = 3 t . (2 t^2 - 5)^4

Passo 1

Então pessoal, de ínicio notamos que a nossa função é um produto entre duas funções, certo? Dessa forma, para derivarmos y , teremos que utilizar a regra do produto, que nos diz o seguinte:

(d y)/(d t) = u^' . v + u . v '

No qual u e v são funções de t , claro. Mas quem são u e v ?

u = 3 t

v = (2 t^2 - 5)^4

Agora o que precisamos fazer é resolver essas derivadas, beleza? Então bora lá!

Passo 2

Primeiro descobrindo u ' , teremos:

u^' = 3

Agora para descobrirmos v ' , teremos que utilizar a regra da cadeia, que nos diz para derivar a função mais externa e multiplicar pela derivada da função mais interna, se liga:

v^' = 4 . (2 t^2 - 5)^3 . ( 2 t^2 - 5 ) '

v^' = 4 . (2 t^2 - 5)^3 . 4 t

:. v^' = 16 t . ( 2 t^2 - 5 ) ³

Passo 3

Agora que já temos u ' e v ' , basta substituirmos na regra do produto. Se liga como vai ficar!

(d y)/(d t) = u^' . v + u . v '

(d y)/(d t) = 3 . (2 t^2 - 5)^4 + 3 t . 16 t . ( 2 t^2 - 5 ) ³

Botando em evidência e simplificando a expressão, teremos:

(d y)/(d t) = 3 (2 t^2 - 5)^3 [ (2 t^2 - 5) + 16 t^2 ]

:. (d y)/(d t) = 3 (2 t^2 - 5)^3 [ 1 8 t^2 - 5 ]

Resposta

(d y)/(d t) = 3 (2 t^2 - 5)^3 [ 18 t^2 - 5 ]

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