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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 72

Calcule y ' ' nos Exercícios 71-78.

72. y = (1 - sqrt(x))^(- 1)

Passo 1

Para acharmos y ' teremos que utilizar a regra da cadeia, beleza? Aplicando a regra, teremos:

y^' = - 1 . (1 - sqrt(x))^(- 2) . (1 - sqrt(x)) '

y^' = - (1 - sqrt(x))^(- 2) . ( - (1)/(2) x^(- (1)/(2)) )

:. y^' = (1)/(2 . (1 - sqrt(x))^2 . sqrt(x))

Passo 2

Agora que encontramos y ' , basta derivarmos novamente para descobrirmos y ' ' , certo? Reescrevendo a função y ' , teremos:

y^' = (1)/(2) . (1 - sqrt(x))^(- 2) . x^(- (1)/(2))

Para derivarmos essa função, teremos que utilizar a regra do produto, que nos diz o seguinte:

y^(' ') = (1)/(2) ( u^' . v + u . v ' )

u = (1 - sqrt(x))^(- 2)

v = x^(- (1)/(2))

Passo 3

Descobrindo u ' , teremos:

u^' = - 2 . (1 - sqrt(x))^(- 3) . ( 1 - sqrt(x) ) '

:. u^' = - 2 . (1 - sqrt(x))^(- 3) . (- (1)/(2) x^(- (1)/(2)))

Descobrindo v ' , teremos:

v^' = - (1)/(2) . x^(- (1)/(2) - 1)

:. v^' = - (1)/(2) . x^(- (3)/(2))

Passo 4

Agora que descobrimos u ' e v ' , basta substituirmos na regra do produto para descobrirmos y ' ' , se liga:

y^(' ') = (1)/(2) (u^' . v + u . v^')

y^(' ') = (1)/(2) (- 2 . (1 - sqrt(x))^(- 3) . (- (1)/(2) x^(- (1)/(2))) . x^(- (1)/(2)) + (1 - sqrt(x))^(- 2) . (- (1)/(2) . x^(- (3)/(2))))

Simplificando a expressão, teremos:

y^(' ') = (1)/((1 - sqrt(x))^3 . 2 x) - (1)/(4 . (1 - sqrt(x))^2 . sqrt(x ³))

Resposta

y^(' ') = (1)/((1 - sqrt(x))^3 . 2 x) - (1)/(4 . (1 - sqrt(x))^2 . sqrt(x ³))

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