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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 78

Calcule y ' ' nos Exercícios 71-78.

78. y = s e n ( x^2 . e^x )

Passo 1

Para derivarmos essa função aí, de ínicio precisaremos da regra da cadeia e, para derivar a função mais interna necessitaremos da regra do produto, beleza? Derivando, teremos:

y^' = cos (x^2 . e^x) . (x^2 . e^x) '

A regra do produto nos diz que:

y^' = u^' . v + u . v '

u = x^2

v = e^x

Passo 2

As derivadas de u e v são:

u^' = 2 x

v^' = e^x

Aplicando na regra do produto, teremos:

y^' = cos (x^2 . e^x) . ( 2 x . e^x + x^2 . e^x )

Passo 3

Agora que descobrimos y ' , precisaremos ter muuuuuito cuidado para descobrir y ' ' . Ao todo, teremos que utilizar umas 3 regras do produto, se liga:

y^(' ') = u^' . v + u . v '

u = cos (x^2 . e^x)

v = ( 2 x . e^x + x^2 . e^x )

Passo 4

Descobrindo as derivadas, teremos:

u^' = - s e n (x^2 . e^x) . ( x^2 . e^x ) '

u^' = - s e n (x^2 . e^x) . ( 2 x . e^x + x^2 . e^x )

Note que tanto para u ' e v ' estamos aplicando a regra do produto em todas as multiplicações, beleza?

v^' = 2 . e^x + 2 x . e^x + 2 x . e^x + x^2 . e^x

v^' = 2 . e^x + 4 x . e^x + x^2 . e^x

Passo 5

Aplicando as derivadas que achamos na regra do produto que comentamos no passo 3, teremos:

y^(' ') = - s e n (x^2 . e^x) (2 x . e^x + x^2 . e^x) (2 x . e^x + x^2 . e^x) + cos (x^2 . e^x) ( 2 . e^x + 4 x . e^x + x^2 . e^x )

:. y^(' ') = - s e n (x^2 . e^x) . (2 x . e^x + x^2 . e^x)^2 + cos (x^2 . e^x) ( 2 . e^x + 4 x . e^x + x^2 . e^x )

Resposta

y^(' ') = - s e n (x^2 . e^x) . (2 x . e^x + x^2 . e^x)^2 + cos (x^2 . e^x) ( 2 . e^x + 4 x . e^x + x^2 . e^x )

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