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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 82

Nos Exercícios 79-84, determine o valor de ( f ∘ g ) ' no valor fornecido de x.

82. f u = u + 1 c o s ² u ,         u = g x = π x ,         x = 1 4

Passo 1

Então pessoal, para derivarmos uma função composta, isto é, uma função que tem como domínio a imagem de outra função, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que nos diz o seguinte:

f ∘ g ' x = d y d x = d y d u × d u d x

Utilizaremos, conforme discutido na seção 6 do George, a notação de Leibniz, que facilita bastante o entendimento da derivada, beleza? Nessa questão, temos que:

y = u + 1 c o s ² u = u + s e c ² ( u )  

u = π x  

Passo 2

Achando as derivadas, teremos:

d y d u = 1 + 2 . sec ⁡ u . sec ⁡ u . t g ( u )

∴ d y d u = 1 + 2 . s e c 2 u . t g ( u )

d u d x = π

Passo 3

Agora que descobrimos as derivadas, substituindo na regra da cadeia, teremos:

d y d x = ( 1 + 2 . s e c 2 u . t g u ) . π

∴ d y d x = ( 1 + 2 . s e c 2 π x . t g π x ) . π

Substituindo o ponto que nos foi dado, que é x = 1 4 , teremos:

d y d x = 1 + 2 . s e c 2 π 4 . t g π 4 . π

d y d x = π + 2.2 . 1 . π = 5 π

∴ f ∘ g ' 1 4 = 5 π

Resposta

f ∘ g ' 1 4 = 5 π

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