Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y = log_2((x^2 * e^2) / (2 * raiz(x + 1)))

Passo 1

Antes de derivar vamos utilizar a seguinte propriedade de logaritmos:

log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a

Assim, podemos reescrever a equação dada como:

y =   ln ⁡ x 2 e 2 2 x + 1 ln ⁡ 2

y =   1 ln ⁡ 2 . ln ⁡ x 2 e 2 2 x + 1

Passo 2

Agora, derivamos em ambos os lados:

d y d x =   1 ln ⁡ 2   .   d d x ln ⁡ x 2 e 2 2 x + 1

Passo 3

Para derivar o termo d d x ln ⁡ x 2 e 2 2 x + 1 . Vamos utilizar a regra da cadeia:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = ln ⁡ u e u =   x 2 e 2 2 x + 1

Assim, temos:

d f d u =   1 u

d d x x 2 e 2 2 x + 1 =   e 2 2 .   d d x x 2 x + 1

Agora, aplicando a regra do quociente temos:

d d x x 2 x + 1

=   2 x .   x + 1 .   2 x + 1 2 x + 1 -   1 2 x + 1 .   x 2   x + 1 2

= 4 x   x + 1 -     x 2 2 x + 1 x + 1

=   3 x 2 + 4 x 2 x + 1 x + 1 = 3 x 2 + 4 x 2 x + 1 .   1 x + 1  

Logo, x 2 e 2 2 x + 1 ' =   e 2 2 .   3 x 2 + 4 x 2 x + 1 .   1 x + 1

x 2 e 2 2 x + 1 ' =   e 2 .   ( 3 x 2 + 4 x ) 4   ( x + 1 ) x + 1

Passo 4

Agora, é só substituir o resultado encontrado :

d y d x =   1 ln ⁡ 2   .   d d x ln ⁡ x 2 e 2 2 x + 1

d y d x =   1 ln ⁡ 2   .   1 u . e 2 .   ( 3 x 2 + 4 x ) 4   ( x + 1 ) x + 1

d y d x =   1 ln ⁡ 2   .   2 x + 1 x 2 e 2   .   e 2 .   ( 3 x 2 + 4 x ) 4   ( x + 1 ) x + 1

Simplificando, temos:

d y d x =   1 ln ⁡ 2   .   2   ( 3 x 2 + 4 x ) 4   x 2 ( x + 1 )

d y d x =   x ( 3 x + 4 ) 2 ln ⁡ x 2 ( x + 1 )  

d y d x = 3 x + 4 2 ln ⁡ 2   x   ( x + 1 )

Resposta

d y d x = 3 x + 4 2 ln ⁡ 2   x   ( x + 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

20- Suponha f: R → R derivável e considere a função dada por y = x^2 * f(x^2 + 1) Verifique que dy/dx = 2x * f(x^2 + 1) + 2x^3 * f'(x^2 + 1) Expresse dy/dx | x=1 │ em termos de f(2) e f'(2)
17- Considere as funções dadas por y = a x 2 e y = - x 2 + 1 . Determine a para que os gráficos se interceptem ortogonalmente. (Os gráficos interceptam ortogonalmente em ( x 0 , y 0 ) se as retas tang
18 -Determine a para que as circunferências y^2 + x^2 = 1 e (x - a)^2 + y^2 = 1 se interceptem ortogonalmente.
16- Com relação ao exercício anterior, supondo π / 2απ , expresse dα / dt em termos de θ e (dθ / dt)
19 - Mostre que, para todo a, as curvas y = a * x^2 e x^2 + 2y^2 = 1 se interceptam ortogonalmente.