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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 84

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y   =   log 2 ⁡ x 2 e 2 2 x + 1

Passo 1

Antes de derivar vamos utilizar a seguinte propriedade de logaritmos:

log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a

Assim, podemos reescrever a equação dada como:

y =   ln ⁡ x 2 e 2 2 x + 1 ln ⁡ 2

y =   1 ln ⁡ 2 . ln ⁡ x 2 e 2 2 x + 1

Passo 2

Agora, derivamos em ambos os lados:

d y d x =   1 ln ⁡ 2   .   d d x ln ⁡ x 2 e 2 2 x + 1

Passo 3

Para derivar o termo d d x ln ⁡ x 2 e 2 2 x + 1 . Vamos utilizar a regra da cadeia:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = ln ⁡ u e u =   x 2 e 2 2 x + 1

Assim, temos:

d f d u =   1 u

d d x x 2 e 2 2 x + 1 =   e 2 2 .   d d x x 2 x + 1

Agora, aplicando a regra do quociente temos:

d d x x 2 x + 1

=   2 x .   x + 1 .   2 x + 1 2 x + 1 -   1 2 x + 1 .   x 2   x + 1 2

= 4 x   x + 1 -     x 2 2 x + 1 x + 1

=   3 x 2 + 4 x 2 x + 1 x + 1 = 3 x 2 + 4 x 2 x + 1 .   1 x + 1  

Logo, x 2 e 2 2 x + 1 ' =   e 2 2 .   3 x 2 + 4 x 2 x + 1 .   1 x + 1

x 2 e 2 2 x + 1 ' =   e 2 .   ( 3 x 2 + 4 x ) 4   ( x + 1 ) x + 1

Passo 4

Agora, é só substituir o resultado encontrado :

d y d x =   1 ln ⁡ 2   .   d d x ln ⁡ x 2 e 2 2 x + 1

d y d x =   1 ln ⁡ 2   .   1 u . e 2 .   ( 3 x 2 + 4 x ) 4   ( x + 1 ) x + 1

d y d x =   1 ln ⁡ 2   .   2 x + 1 x 2 e 2   .   e 2 .   ( 3 x 2 + 4 x ) 4   ( x + 1 ) x + 1

Simplificando, temos:

d y d x =   1 ln ⁡ 2   .   2   ( 3 x 2 + 4 x ) 4   x 2 ( x + 1 )

d y d x =   x ( 3 x + 4 ) 2 ln ⁡ x 2 ( x + 1 )  

d y d x = 3 x + 4 2 ln ⁡ 2   x   ( x + 1 )

Resposta

d y d x = 3 x + 4 2 ln ⁡ 2   x   ( x + 1 )

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20- Suponha f : R → R derivável e considere a função dada por y = x 2 f x 2 + 1 . Verifique que d y d x = 2 x . f x 2 + 1 + 2 x 3 f ' ( x 2 + 1 ) Expresse d y d x│ x = 1 │ em termos de f 2ef ' ( 2 )
17- Considere as funções dadas por y = a x 2 e y = - x 2 + 1 . Determine a para que os gráficos se interceptem ortogonalmente. (Os gráficos interceptam ortogonalmente em ( x 0 , y 0 ) se as retas tang
18 -Determine a para que as circunferências y 2 + x 2 = 1 e x - a 2 + y 2 = 1 se interceptem ortogonalmente.
16- Com relação ao exercício anterior, supondo π 2απ , expresse d α d t em termos de θe d θ d t .
19 - Mostre que, para todo a , as curvas y = a x 2 e x 2 + 2 y 2 = 1 se interceptam ortogonalmente.