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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 5

Determine a derivada da função:

y = (x + 1)^2 ( x^2 + 2 x )

Passo 1

A derivada de um polinômio da forma x^n é dada por: n x^(n - 1) .

Nesse caso temos um produto, e usaremos a regra do produto pra derivar. Bom, a regra do produto nos diz que em uma função do tipo f (x) = g (x) h ( x ) , a derivada fica:

f^' (x) = g^' (x) h (x) + g (x) h ' ( x )

Além disso, como temos funções compostas, vamos usar a regra da cadeia, derivando de fora pra dentro...

Passo 2

Na nossa função temos: g (x) = (x + 1)^2 e h (x) = ( x^2 + 2 x )

Então, pela regra do produto temos:

f^' (x) = (x + 1)^2^' (x^2 + 2 x) + (x + 1)^2 ( x^2 + 2 x ) '

Então, derivando:

f^' (x) = 2 (x + 1) (x)^' (x^2 + 2 x) + (x + 1)^2 ( 2 x + 2 )

f^' (x) = (2 x + 2) (x^2 + 2 x) + (x + 1)^2 (2 x + 2)

f^' (x) = (2 x + 2) ( (x^2 + 2 x) + (x + 1)^2 )

Que é a nossa derivada. Podemos desenvolver as multiplicações ainda e chegaremos em:

f^' (x) = 4 x^3 + 12 x^2 + 10 x + 2

Resposta

f^' (x) = (2 x + 2) ((x^2 + 2 x) + (x + 1)^2) = 4 x^3 + 12 x^2 + 10 x + 2

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