Encontre f'(x)

f(x) = raiz(3x - sen^2(4x))

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

f g x ' = f ' g x * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f x = x

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g x = 3 x - s e n 2 ( 4 x )

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f x = x

E x = x 1 2

f ' x = 1 2 x

Como g x = 3 x - s e n 2 ( 4 x ) , ficamos com

f ' g x = 1 2 3 x - s e n 2 4 x

Agora para g ( x )

g x = 3 x - s e n 2 ( 4 x )

g ' x = 3 - s e n 2 4 x '

Agora para essa derivada de s e n 2 ( 4 x ) vamos ter outra regra da cadeia, ficamos então com

s e n 2 4 x ' = u ' v x * v ' x

u x = x 2

u ' x = 2 x

u ' v x = 2 s e n ( 4 x )

v x = s e n 4 x

Aqui temos mais uma regra da cadeia, essa é a última, prometo:

s e n 4 x ' = a ' b x * b ' x

a x = s e n x

a ' x = cos ⁡ x

Como b x = 4 x , ficamos com

a ' b x = cos ⁡ 4 x

b x = 4 x

b ' x = 4

Agora, a nossa regra da cadeia de a b x ' ficamos com

4 cos ⁡ 4 x

Esse resultado é o nosso v ' ( x )

v ' x = 4 c o s ⁡ ( 4 x )

Vamos colocar na regra da cadeia para encontrar quem é s e n 2 4 x '

s e n 2 4 x ' = 2 s e n 4 x * 4 cos ⁡ 4 x

s e n 2 4 x ' = 8 s e n 4 x c o s ⁡ ( 4 x )

Achamos então a derivada de s e n 2 4 x

Passo 3

Maaas não vamos confundir as coisas, achamos s e n 2 4 x ' , e a nossa g ' x = 3 - s e n 2 4 x '

Então vamos ter que

g ' x = 3 - 8 s e n 4 x c o s ⁡ ( 4 x )

E lembrando que achamos la em cima que

f ' g x = 1 2 3 x - s e n 2 4 x

Passo 4

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

f g x ' = ⁡ 1 2 ( 3 x - s e n 2 4 x ) * 3 - 8 s e n 4 x c o s ⁡ ( 4 x )

f g x ' = 3 - 8 s e n 4 x cos ⁡ 4 x 2 3 x - s e n 2 4 x

Resposta

f g x ' = 3 - 8 s e n 4 x cos ⁡ 4 x 2 3 x - s e n 2 4 x

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