Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 24

Encontre f ' ( x )

f (x) = sqrt(3 x - s e n^2 ( 4 x ))

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = sqrt(x)

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = 3 x - s e n^2 ( 4 x )

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f (x) = sqrt(x)

E sqrt(x) = x^((1)/(2))

f^' (x) = (1)/(2 sqrt(x))

Como g (x) = 3 x - s e n^2 ( 4 x ) , ficamos com

f^' (g (x)) = (1)/(2 sqrt(3 x - s e n^2 (4 x)))

Agora para g ( x )

g (x) = 3 x - s e n^2 ( 4 x )

g^' (x) = 3 - (s e n^2 (4 x))^'

Agora para essa derivada de s e n^2 ( 4 x ) vamos ter outra regra da cadeia, ficamos então com

(s e n^2 (4 x))^' = u^' (v (x)) * v^' (x)

u (x) = x^2

u^' (x) = 2 x

u^' (v (x)) = 2 s e n ( 4 x )

v (x) = s e n (4 x)

Aqui temos mais uma regra da cadeia, essa é a última, prometo:

s e n (4 x)^' = a^' (b (x)) * b^' (x)

a (x) = s e n (x)

a^' (x) = cos (x)

Como b (x) = 4 x , ficamos com

a^' (b (x)) = cos (4 x)

b (x) = 4 x

b^' (x) = 4

Agora, a nossa regra da cadeia de (a (b (x)))^' ficamos com

4 cos (4 x)

Esse resultado é o nosso v ' ( x )

v^' (x) = 4 c o s ( 4 x )

Vamos colocar na regra da cadeia para encontrar quem é (s e n^2 (4 x))^'

(s e n^2 (4 x))^' = 2 s e n (4 x) * 4 cos (4 x)

(s e n^2 (4 x))^' = 8 s e n (4 x) c o s ( 4 x )

Achamos então a derivada de s e n^2 (4 x)

Passo 3

Maaas não vamos confundir as coisas, achamos (s e n^2 (4 x))^' , e a nossa g^' (x) = 3 - (s e n^2 (4 x))^'

Então vamos ter que

g^' (x) = 3 - 8 s e n (4 x) c o s ( 4 x )

E lembrando que achamos la em cima que

f^' (g (x)) = (1)/(2 sqrt(3 x - s e n^2 (4 x)))

Passo 4

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

(f (g (x)))^' = (1)/(2 ( 3 x - s e n^2 (4 x) )) * 3 - 8 s e n (4 x) c o s ( 4 x )

(f (g (x)))^' = (3 - 8 s e n (4 x) cos (4 x))/(2 sqrt(3 x - s e n^2 (4 x)))

Resposta

(f (g (x)))^' = (3 - 8 s e n (4 x) cos (4 x))/(2 sqrt(3 x - s e n^2 (4 x)))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada da função:y = cos^4 ( 1 - 2 t )
Determine a derivada da função:r = s e n sqrt(2 theta )
Determine a derivada da função:s = (sqrt(t))/(1 + sqrt(t))
Determine a derivada da função:r = sqrt(2 theta s e n theta)
Determine a derivada da função:y = x^5 - 0,125 x^2 + 0,25 x