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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 26

Encontre f ' ( x )

f (x) = [x^4 - sec (4 x^2 - 2)]^(- 4)

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = x^(- 4)

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = x^4 - sec (4 x^2 - 2)

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f (x) = x^(- 4)

f^' (x) = - 4 x^(- 5)

Como g (x) = x^4 - sec (4 x^2 - 2) , ficamos com

f^' (g (x)) = - 4 [x^4 - sec (4 x^2 - 2)]^(- 5)

Agora para g ( x )

g (x) = x^4 - sec (4 x^2 - 2)

g^' (x) = 4 x^3 + ( s e c (4 x^2 - 2)^'

Vamos resolver essa derivada de s e c (4 x^2 - 2) com uma outra regra da cadeia

(s e c (4 x^2 - 2))^' = u^' (v (x)) v^' (x)

u (x) = s e c (x)

u^' (x) = sec (x) t g ( x )

u^' (v (x)) = sec (4 x^2 - 2) t g ( 4 x^2 - 2 )

v (x) = 4 x^2 - 2

v^' (x) = 8 x

(s e c (4 x^2 - 2))^' = sec (4 x^2 - 2) t g ( 4 x^2 - 2 ) * 8 x

Passo 3

Maaas vamos lembrar que

g^' (x) = 4 x^3 + (s e c (4 x^2 - 2))^'

Então temos que

g^' (x) = 4 x^3 + 8 x sec (4 x^2 - 2) t g ( 4 x^2 - 2 )

E lembrando que

f^' (g (x)) = - 4 [x^4 - sec (4 x^2 - 2)]^(- 5)

Passo 4

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

(f (g (x)))^' = - (4)/([x^4 - sec (4 x^2 - 2)]^5) * (4 x^3 + 8 x sec (4 x^2 - 2) t g (4 x^2 - 2))

(f (g (x)))^' = - (4 (4 x^3 + 8 x sec (4 x^2 - 2) t g (4 x^2 - 2)))/([x^4 - sec (4 x^2 - 2)]^5)

Para tentar deixar a resposta menos feia, podemos deixar assim:

(f (g (x)))^' = - (16 x ( 2 sec (4 x^2 - 2) t g (4 x^2 - 2) - x^2 ))/([x^4 - sec (4 x^2 - 2)]^5)

Resposta

(f (g (x)))^' = - (16 x ( 2 sec (4 x^2 - 2) t g (4 x^2 - 2) - x^2 ))/([x^4 - sec (4 x^2 - 2)]^5)

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