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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 29

Encontre d y // d x

y = x^5 s e c ((1)/(x))

Passo 1

Vamos aplicar d // d x de ambos os lados! Ficamos com:

(d y)/(d x) = (d (x^5 s e c ((1)/(x))))/(d x)

Como temos um produto, vamos aplicar a Regra do Produto, então ficamos com

(d y)/(d x) = (x^5)^' * s e c ((1)/(x)) + x^5 * (s e c ((1)/(x))) '

Passo 2

Vamos começar com a primeira multiplicação

(x^5)^' * s e c ((1)/(x))

5 x^4 * s e c ((1)/(x))

Passo 3

Show agora vamos para a segunda parte, que é onde o bicho pega, mas se a gente for com calma vamos chegar no resultado da questão

x^5 * (s e c ((1)/(x)))^'

Olhando essa derivada , podemos ver que essa função que é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = s e c ( x )

f^' (x) = sec (x) t g ( x )

f^' (g (x)) = sec ((1)/(x)) t g ((1)/(x))

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = (1)/(x)

g^' (x) = - (1)/(x^2)

Passo 4

Agora que achamos o g ' ( x ) vamos fazer a regra da cadeia para chegar em quem é (s e n^2 (5 x))^'

(s e c ((1)/(x)))^' = sec ((1)/(x)) t g ((1)/(x)) * (- (1)/(x^2))

(s e c ((1)/(x)))^' = (- sec ((1)/(x)) t g ((1)/(x)))/(x^2)

Passo 5

Ufa! Agora que já sabemos os termos podemos voltar para nossa regra do produto

(d y)/(d x) = (x^5)^' * s e c ((1)/(x)) + x^5 * (s e c ((1)/(x))) '

(d y)/(d x) = 5 x^4 * s e c ((1)/(x)) + x^5 * (- sec ((1)/(x)) t g ((1)/(x)))/(x^2)

(d y)/(d x) = 5 x^4 sec ((1)/(x)) - x^3 sec ((1)/(x)) t g ((1)/(x))

Podemos colcar sec ((1)/(x)) x^3 em evidencia e ficamos com

(d y)/(d x) = sec ((1)/(x)) x^3 (5 x - t g ((1)/(x)))

Resposta

(d y)/(d x) = sec ((1)/(x)) x^3 (5 x - t g ((1)/(x)))

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