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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 39

Encontre (d y)/(d x) :

y = ((2 x + 3)^3)/((4 x^2 - 1)^8)

Passo 1

Por aqui a gente não para não !!

Esta questão pode parecer difícil, mas vocês verão que é molezinha !!

Primeiro vamos chamar:

f (x) = (2 x + 3)^3

g (x) = (4 x^2 - 1)^8

E lembrando da Regra do Quociente:

(d y)/(d x) = (g (x) . (d f ( x ))/(d x) - f ( x ) . (d g ( x ))/(d x))/(g (x)^2)

Vamos começar chamando:

u = 2 x + 3

v = 4 x^2 - 1

Então:

f (u) = u^3

g (v) = v^8

Lembrando que:

(d f ( x ))/(d x) = (d f ( u ))/(d u) . (d u)/(d x)

(d g ( x ))/(d x) = (d g ( v ))/(d v) . (d v)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) e (d v)/(d x) :

(d u)/(d x) = 2

(d v)/(d x) = 8 x

Agora vamos derivar f ( u ) e g ( v ) :

(d f ( u ))/(d u) = 3 u^2

(d g ( v ))/(d v) = 8 v^7

E por fim:

(d f ( x ))/(d x) = (3 u^2) . (2)

(d g ( x ))/(d x) = (8 v^7) . (8 x)

Substituindo u e v :

(d f ( x ))/(d x) = 6 . (2 x + 3)^2

(d g ( x ))/(d x) = 64 x . (4 x^2 - 1)^7

E agora voltamos lá na Regra do Quociente:

(d y)/(d x) = ([(4 x^2 - 1)^8] . [6 . (2 x + 3)^2] - [(2 x + 3)^3] . [64 x . (4 x^2 - 1)^7])/([(4 x^2 - 1)^8]^2)

(d y)/(d x) = (6 . (2 x + 3)^2 (4 x^2 - 1)^8 - 64 x . (2 x + 3)^3 (4 x^2 - 1)^7)/((4 x^2 - 1)^(16))

Evidenciando alguns termos:

(d y)/(d x) = (2 . (2 x + 3)^2 (4 x^2 - 1)^7 [3 (4 x^2 - 1) - 32 x (2 x + 3)])/((4 x^2 - 1)^(16))

(d y)/(d x) = (2 . (2 x + 3)^2 [12 x^2 - 3 - 64 x^2 - 96 x])/((4 x^2 - 1)^9)

(d y)/(d x) = (2 . (2 x + 3)^2 [- 5 2 x^2 - 96 x - 3])/((4 x^2 - 1)^9)

(d y)/(d x) = - (2 . (2 x + 3)^2 [52 x^2 + 96 x + 3])/((4 x^2 - 1)^9)

Gostaram?

Resposta

(d y)/(d x) = - (2 . (2 x + 3)^2 [52 x^2 + 96 x + 3])/((4 x^2 - 1)^9)

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