Encontre a derivada da função

19) h(t) = (t + 1)^(2/3) \* (2t^2 - 1)^3

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Precisamos derivar essa função que nos foi dada, e para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra e também uma multiplicação entre funções. E o que fazemos quando isso acontece?

Primeira coisa, usar a Regra do Produto, pois temos o produto de duas funções. E também devemos utilizar a regra da cadeia, pois temos uma função composta, que é quando temos uma função dentro de outra função.

Primeiro iremos aplicar a regra do produto. Ela é a sim:

d f x ∙ g x d x = f x d g x d x + g x d f x d x

Para isso vamos chamar:

f t = t + 1 2 3

g t = ( 2 t 2 - 1 ) ³

Vamos precisar da derivada para f e g, certo? E agora sim precisaremos da Regra da Cadeia. Pois temos as funções t + 1   e   2 t 2 - 1 dentro das funções potenciais.

Passo 2

Para derivar f t em relação a t, podemos aplicar a regra da cadeia:

d f ( t ) d t = d f ( t ) d u . d u d t

Então vamos chamar:

u = t + 1

E:

f u = u 2 3

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro dever achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por d u d t . Então vamos derivar u com relação à t:

d u d t = 1

Agora vamos derivar f(t) em função de u para achar d f ( t ) d u :

d f ( t ) d u = 2 3 u - 1 3 = 2 3 u 3

Agora vamos colocar na derivada d f ( t ) d t :

d f ( t ) d t = 2 3 u 3 × 1

Substituindo u:

d f ( t ) d t = 2 3 t + 1 3

Passo 3

Para derivar g t em relação a t, iremos aplicar novamente a regra da cadeia:

d g ( t ) d t = d g ( t ) d u . d u d t

Então vamos chamar:

u = 2 t 2 - 1

E:

g u = u ³

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por d u d t . Então vamos derivar u com relação à t:

d u d t = 4 t

Agora vamos derivar g(t) em função de u para achar d g ( t ) d u :

d g ( t ) d u = 3 u ²

Agora vamos colocar na derivada d g ( t ) d t :

d g ( t ) d t = 3 u ² ( 4 t )

Substituindo u:

d g ( t ) d t = 12 t ( 2 t 2 - 1 ) ²

Passo 4

Agora podemos achar a derivada de y usando a Regra do Produto, certo? Lembre-se que a regra do produto tem a seguinte configuração:

d f x ∙ g x d x = f x d g x d x + g x d f x d x

h ' t = 12 t t + 1 2 3 2 t 2 - 1 2 + ( 2 t 2 - 1 ) ³ 2 3 t + 1 3

Isolando 2 3 t + 1 3 . 2 t 2 - 1 2   :

h ' t = 2 3 t + 1 3 . 2 t 2 - 1 2 [ 18 t t + 1 + 2 t 2 - 1 ]

Abrindo a equação:

h ' t = 2 3 t + 1 3 . 2 t 2 - 1 2 [ 20 t 2 + 18 t - 1 ]

Resposta

h ' t = 2 3 t + 1 3 . 2 t 2 - 1 2 [ 20 t 2 + 18 t - 1 ]

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