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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 19

Encontre a derivada da função

19) h ( t ) = (t + 1)^((2)/(3)) ( 2 t^2 - 1 ) ³

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Precisamos derivar essa função que nos foi dada, e para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra e também uma multiplicação entre funções. E o que fazemos quando isso acontece?

Primeira coisa, usar a Regra do Produto, pois temos o produto de duas funções. E também devemos utilizar a regra da cadeia, pois temos uma função composta, que é quando temos uma função dentro de outra função.

Primeiro iremos aplicar a regra do produto. Ela é a sim:

(d (f (x) * g (x)))/(d x) = f (x) ((d (g (x)))/(d x)) + g (x) ((d (f (x)))/(d x))

Para isso vamos chamar:

f (t) = (t + 1)^((2)/(3))

g (t) = ( 2 t^2 - 1 ) ³

Vamos precisar da derivada para f e g, certo? E agora sim precisaremos da Regra da Cadeia. Pois temos as funções t + 1 e 2 t^2 - 1 dentro das funções potenciais.

Passo 2

Para derivar f (t) em relação a t, podemos aplicar a regra da cadeia:

(d f ( t ))/(d t) = (d f ( t ))/(d u) . (d u)/(d t)

Então vamos chamar:

u = t + 1

E:

f (u) = u^((2)/(3))

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro dever achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por (d u)/(d t) . Então vamos derivar u com relação à t:

(d u)/(d t) = 1

Agora vamos derivar f(t) em função de u para achar (d f ( t ))/(d u) :

(d f ( t ))/(d u) = (2)/(3) u^(- (1)/(3)) = (2)/(3 root(3)(u))

Agora vamos colocar na derivada (d f ( t ))/(d t) :

(d f ( t ))/(d t) = (2)/(3 root(3)(u)) xx 1

Substituindo u:

(d f ( t ))/(d t) = (2)/(3 root(3)(t + 1))

Passo 3

Para derivar g (t) em relação a t, iremos aplicar novamente a regra da cadeia:

(d g ( t ))/(d t) = (d g ( t ))/(d u) . (d u)/(d t)

Então vamos chamar:

u = 2 t^2 - 1

E:

g (u) = u ³

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por (d u)/(d t) . Então vamos derivar u com relação à t:

(d u)/(d t) = 4 t

Agora vamos derivar g(t) em função de u para achar (d g ( t ))/(d u) :

(d g ( t ))/(d u) = 3 u ²

Agora vamos colocar na derivada (d g ( t ))/(d t) :

(d g ( t ))/(d t) = 3 u ² ( 4 t )

Substituindo u:

(d g ( t ))/(d t) = 12 t ( 2 t^2 - 1 ) ²

Passo 4

Agora podemos achar a derivada de y usando a Regra do Produto, certo? Lembre-se que a regra do produto tem a seguinte configuração:

(d (f (x) * g (x)))/(d x) = f (x) ((d (g (x)))/(d x)) + g (x) ((d (f (x)))/(d x))

h^' (t) = 12 t (t + 1)^((2)/(3)) (2 t^2 - 1)^2 + ( 2 t^2 - 1 ) ³ (2)/(3 root(3)(t + 1))

Isolando (2)/(3 root(3)(t + 1)) . (2 t^2 - 1)^2 :

h^' (t) = (2)/(3 root(3)(t + 1)) . (2 t^2 - 1)^2 [ 18 t (t + 1) + 2 t^2 - 1 ]

Abrindo a equação:

h^' (t) = (2)/(3 root(3)(t + 1)) . (2 t^2 - 1)^2 [ 20 t^2 + 18 t - 1 ]

Resposta

h^' (t) = (2)/(3 root(3)(t + 1)) . (2 t^2 - 1)^2 [ 20 t^2 + 18 t - 1 ]

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