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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 36

Encontre (d y)/(d x) :

y = (x^2 + x)^5 sen^8 x

Passo 1

Animados para seguir?

Antes de qualquer coisa vamos chamar:

f (x) = (x^2 + x)^5

g (x) = sen^8 x

E lembrando da Regra do Produto:

(d y)/(d x) = g (x) . (d f ( x ))/(d x) + f ( x ) . (d g ( x ))/(d x)

Para facilitar nós vamos chamar:

u = x^2 + x

v = sen x

Então:

f (u) = u^5

g (v) = v^8

Lembrando da Regra da Cadeia:

(d f ( x ))/(d x) = (d f ( u ))/(d u) . (d u)/(d x)

(d g ( x ))/(d x) = (d g ( v ))/(d v) . (d v)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) e (d v)/(d x) :

(d u)/(d x) = 2 x + 1

(d v)/(d x) = cos x

Agora vamos derivar f ( u ) e g ( v ) em função de u :

(d f ( u ))/(d u) = 5 u^4

(d g ( v ))/(d v) = 8 v^7

E por fim:

(d f ( x ))/(d x) = (5 u^4) . (2 x + 1)

(d g ( x ))/(d x) = (8 v^7) . (cos x)

Substituindo u e v :

(d f ( x ))/(d x) = 5 (x^2 + x)^4 (2 x + 1)

(d g ( x ))/(d x) = 8 sen^7 x cos x

E agora voltamos lá na Regra do Produto:

(d y)/(d x) = [sen^8 x] . [5 (x^2 + x)^4 (2 x + 1)] + [(x^2 + x)^5] . [8 sen^7 x cos x]

(d y)/(d x) = 5 (x^2 + x)^4 (2 x + 1) sen^8 x + 8 sen^7 x cos x (x^2 + x)^5

(d y)/(d x) = (x^2 + x)^4 sen^7 x [5 (2 x + 1) . sen x + 8 cos x (x^2 + x)]

E finalizamos mais umaa !!

Resposta

(d y)/(d x) = (x^2 + x)^4 sen^7 x [5 (2 x + 1) . sen x + 8 cos x (x^2 + x)]

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