Encontre a derivada da função

16) y = e^(-2t) \* cos(4t)

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado nos pede para basicamente derivarmos a função dada.

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra função( 4 𝑡   ) e − 2 𝑡 e uma multiplicação entre as funções 𝑒 − 2 𝑡   𝑒   cos ⁡ 4 𝑡 . E o que fazemos quando isso acontece?

Precisaremos usar a Regra do Produto, pois temos um produto de funções e após isso iremos utilizar a regra da cadeia por conta que temos uma função dentro de outra função.

Passo 2

A regra do produto tem a seguinte configuração:

𝑑 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 𝑑 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑑 𝑔 𝑥 𝑑 𝑥 + 𝑔 𝑥 ∙ 𝑑 𝑓 𝑥 𝑑 𝑥

Para a nossa situação:

f t = e - 2 t

g t = cos ⁡ 4 t

Vamos precisar da derivada para f e g, certo? E agora sim precisaremos da Regra da Cadeia. Para derivar f t em relação a t, podemos fazer:

d f ( t ) d t = d f ( t ) d u . d u d t

Então vamos chamar:

u = - 2 t

E:

f u = e u

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por d u d t . Então vamos derivar u com relação à t:

d u d t = - 2

Agora vamos derivar f(t) em função de u para achar d f ( t ) d u :

d f ( t ) d u = e u

Agora vamos colocar na derivada d f ( t ) d x :

d f ( t ) d t = - 2 . e u

Substituindo u:

d f ( t ) d t = - 2 . e - 2 t

Passo 3

Para derivar g t em relação a t, podemos fazer:

d g ( t ) d t = d g ( t ) d u . d u d t

Então vamos chamar:

u = 4 t

E:

f u = cos ⁡ u

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por d u d t . Então vamos derivar u com relação à x:

d u d t = 4

Agora vamos derivar g(t) em função de u para achar d g ( t ) d u :

d g ( t ) d u = - s e n   u

Agora vamos colocar na derivada d g ( t ) d x :

d g ( t ) d t = - 4 . s e n   u

Substituindo u:

d g ( t ) d t = - 4 . s e n   4 t

Passo 4

Agora que já aplicamos as regras da cadeia necessária para derivação, apenas iremos reorganizar seguindo a regra do produto:

y ' = e - 2 t - 4 . s e n   4 t + cos ⁡ 4 t ( - 2 . e - 2 t )

Isolando 2 . e 2 t :

y ' = - 2 e - 2 t ( cos ⁡ 4 t + 2 . s e n   4 t )

Resposta

y ' = - 2 e - 2 t ( cos ⁡ 4 t + 2 . s e n   4 t )

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