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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 38

Encontre as dimensões do triângulo isósceles de menor área que pode circunscrever um círculo de raio R .

Passo 1

Então galera, a fim de facilitar a visualização do problema, vamos esboçar como seria essa coisa toda aí, se liga:

Então temos o seguinte: h é a altura do triângulo, R é o raio do círculo e b é a base do triângulo. Para um triângulo qualquer, temos que a área é:

A = 1 2 b h

Além disso, por semelhança de triângulos conseguimos tirar o seguinte:

b 2 h = R h 2 - 2 R h

Vale ressaltar que essa raíz sai do teorema de Pitágoras, ok? Isolando b na expressão que acabamos de criar, teremos:

b = 2 R h h 2 - 2 R h

Isolando na expressão de A :

A = 1 2 . 2 R h h 2 - 2 R h . h = R h 2 h 2 - 2 R h

Show!

Passo 2

O enunciado quer um triângulo com dimensões mínimas, então temos que utilizar os conceitos de cálculo que aprendemos! Para encontrarmos h mínimo a partir da expressão de A que escrevemos, devemos derivar a função e igualar a zero, saca só:

d A d h = 2 R h . h 2 - 2 R h - R h 2 . 1 2 h 2 - 2 R h - 1 2 . 2 h - 2 R h 2 - 2 R h

Simplificando:

d A d h = R h 2 h - 3 R h 2 - 2 R h 3 2

Igualando nosso resultado a zero:

R h 2 h - 3 R h 2 - 2 R h 3 2 = 0

R h 2 h - 3 R = 0

Para isso dar zero existem duas possibilidades:

h 2 = 0 ⇒ h = 0

Ou:

h - 3 R = 0 ⇒ h = 3 R   u . c

Como h não pode ser zero, o único resultado aceitável seria h = 3 R . Ok, encontramos uma das duas dimensões!

Passo 3

Agora que encontramos h , devemos encontrar b . De acordo com o que deduzimos no passo 1 , temos:

b = 2 R h h 2 - 2 R h

Substituindo h = 3 R :

b = 2 R . 3 R 9 R 2 - 2 R . 3 R

b = 6 R 2 9 R 2 - 6 R 2 = 6 R 2 R 3

∴ b = 6 R 3   u . c

E estão aí as dimensões procuradas pelo enunciado, galera! 😉

Resposta

h = 3 R   u . c

b = 6 R 3   u . c

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