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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 28

Encontre f ' x e f ' ' x .

f x = x e x

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = x e x

E nosso objetivo é calcular a primeira e asegunda derivada de f .

Tem ideia de como fazemos isso?

A primeira coisa que podemos perceber de f é que se trata de um produto de funções, então para calcular suas derivadas podemos aplicar a regra do produto.

A regra do produto é dada por

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Bora comçar!

Passo 2

Se f x = g x · h x = x e x temos que g x = x e h x = e x

Aplicando a regra do produto na nossa equação:

f ' x = d d x x ⋅ e x + d d x e x ⋅ x

Pela regra da potência e pelo teorema fundamental do calculo, temos

f ' x = 1 2 x ⋅ e x + e x ⋅ x

Isolando e x :

f ' x = 1 2 x + x ⋅ e x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos derivar pela segunda vez:

f ' ' x = d d x 1 2 x + x ⋅ e x

Mais uma vez devemos usar a regra do produto, mas agora para g x = 1 2 x + x

f ' ' x = d d x 1 2 x + x ⋅ e x + d d x e x ⋅ 1 2 x + x

Podemos escrever 1 2 x como x - 1 / 2 2 então fica derivada fica mais fácil de fazer:

f ' ' x = d d x x - 1 / 2 2 + x ⋅ e x + d d x e x ⋅ 1 2 x + x

Pelos mesmos métodos do passo anterior, temos

f ' ' x = - 1 2 ⋅ x - 3 / 2 2 + 1 2 x ⋅ e x + e x ⋅ 1 2 x + x

f ' ' x = - x - 3 / 2 4 + 1 2 x ⋅ e x + e x ⋅ 1 2 x + x

Isolando e x :

f ' ' x = - x - 3 2 4 + 1 2 x + 1 2 x + x ⋅ e x

f ' ' x = - x - 3 2 4 + 1 x + x ⋅ e x

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

f ' x = 1 2 x + x ⋅ e x

f ' ' x = - x - 3 2 4 + 1 x + x ⋅ e x

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