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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.2 - Ex. 14

Derive a função:

y = (x + 1)/(x ³ + x - 2)

Passo 1

E aí, galerinha! 😬

Bom, galera, precisamos derivar a função

y = (x + 1)/(x ³ + x - 2)

Mas neste caso a função é composta por uma divisão, então o que fazemos?

Usamos a Regra do Quociente!

Ou seja

y^' = (f^' * g - f * g^')/(g^2)

Saca só! 😁

Passo 2

Substituindo na fórmula da regra do quociente sabendo que f (x) = x + 1 e g (x) = x^3 + x - 2 ...

y ' = (( x ³ + x - 2 ) . (d)/(d x) (x + 1) - ( x + 1 ) . (d)/(d x) (x ³ + x - 2))/(( x ³ + x - 2 ) ²)

Agora vamos lembrar a Derivada da Soma e da Subtração:

y ' = ((x^3 + x - 2) . [(d)/(d x) x + (d)/(d x) 1] - (x + 1) . [(d)/(d x) x^3 + (d)/(d x) x - (d)/(d x) 2])/(( x ³ + x - 2 ) ²)

E qual é a derivada de uma constante?

Vamos relembrar:

y ' = ((x^3 + x - 2) . [(d)/(d x) x + 0] - (x + 1) . [(d)/(d x) x^3 + (d)/(d x) x - 0])/(( x ³ + x - 2 ) ²)

Para finalizar vamos usar a Regra da Potência:

y ' = ((x^3 + x - 2) . 1 - (x + 1) . [3 x ² + 1])/(( x ³ + x - 2 ) ²)

Simplificando a equação:

y^' = (x^3 + x - 2 - (3 x ³ + 3 x ² + x + 1))/(( x ³ + x - 2 ) ²) = (x^3 + x - 2 - 3 x^3 - 3 x^2 - x - 1)/(( x ³ + x - 2 ) ²)

Sendo assim:

y^' = (- 2 x^3 - 3 x^2 - 3)/(( x ³ + x - 2 ) ²)

y^' = - (2 x^3 + 3 x^2 + 3)/(( x ³ + x - 2 ) ²)

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

y^' = - (2 x^3 + 3 x^2 + 3)/(( x ³ + x - 2 ) ²)

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Encontre f ' ( x ) :f (x) = ( x^3 + 7 x^2 - 8 ) (2 x^(- 3) + x^(- 4))
Calcule a derivada da função f ( x ) : (a) multiplicando e então derivando e depois (b) usando a regra do produto. Verifique que (a) e (b) dão o mesmo resultado. f x = ( x 2 + 1 ) ( x 2 - 1 )
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