Ache a série de potência que representa a função e determine o intervalo de convergência.

f(x) = x^2 / (x^4 + 16)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certo? Precisamos encontrar uma forma de transformar a função acima em uma série de potências.Lembre-se que a forma da série de potência geométrica padrão é a seguinte:

1 1 - x = ∑ x n

Então devemos encontrar uma forma de simplificar a função dada em algo parecido com issoVamos tentar?

Passo 2

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = x 2 x 4 + 16

Podemos reescrever a função como:

f x = x 2 16 1 1 + x 4 16

Mas perceba que para utilizarmos a série geométrica como referência, devemos ter uma subtração no denominador. De modo que temos que fazer:

1 + x 4 16 = 1 - - x 4 16

Ou seja, temos:

x 2 16   . 1 1 - - x 4 16 =   x 2 16 1 1 - - x 2 4

Vamos fazer uma mudança de variável.

y =   - x 2 4

Então temos:

x 2 16 1 1 - y

Pela definição:

1 1 - x = ∑ x n

Temos que

x 2 16 ∑ n = 0 ∞ y n

Ou seja:

= x 2 16 ∑ n = 0 ∞ - x 2 4 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 x 4 n + 2 2 4 n + 4

Passo 3

Agra precisamos encontrar o intervalo de convergência;

Já sabemos que a série que encontramos é uma série geométrica do tipo:

∑ n = 1 a r n - 1 = a 1 - r

Que por definição é convergente se | r | < 1 .

Escrevendo de outra forma para facilitar:

∑ n = 0 ∞ x 2 16 - x 2 4 n

Sabemos que r = - x 2 4

Sendo assim, a série converge quando:

- x 2 4 < 1

x 2 < 1

x < 2

Dessa forma, temos:

- 2 < x < 2

E o raio de convergência é:

R = 2 - - 2 2 = 2

Passo 4

Vamos avaliar o intervalo de convergência para x = - 2

∑ n = 0 ∞ - 2 2 16 - - 2 2 4 n = ∑ n = 0 ∞ 4 16 - 1 n = 1 4 ∑ n = 0 ∞ - 1 n

Pelo teste da série geométrica temos | r | =   1 , ou seja, a série diverge.

Passo 5

Vamos avaliar o intervalo de convergência para x = 2

∑ n = 0 ∞ 2 2 16 - 2 2 4 n = ∑ n = 0 ∞ 4 16 - 1 n = 1 4 ∑ n = 0 ∞ - 1 n

Da mesma forma que o caso anterior, temos | r | =   1 , ou seja, a série diverge.

E, dessa forma, o intervalo de convergência é dado por:

I = - 2,2

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 x 4 n + 2 2 4 n + 4

I = - 2,2

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