Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 7
Ache a série de potência que representa a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certo? Precisamos encontrar uma forma de transformar a função acima em uma série de potências.Lembre-se que a forma da série de potência geométrica padrão é a seguinte:
Então devemos encontrar uma forma de simplificar a função dada em algo parecido com issoVamos tentar?
Passo 2
Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:
Podemos reescrever a função como:
Mas perceba que para utilizarmos a série geométrica como referência, devemos ter uma subtração no denominador. De modo que temos que fazer:
Ou seja, temos:
Vamos fazer uma mudança de variável.
Então temos:
Pela definição:
Temos que
Ou seja:
Passo 3
Agra precisamos encontrar o intervalo de convergência;
Já sabemos que a série que encontramos é uma série geométrica do tipo:
Que por definição é convergente se .
Escrevendo de outra forma para facilitar:
Sabemos que
Sendo assim, a série converge quando:
Dessa forma, temos:
E o raio de convergência é:
Passo 4
Vamos avaliar o intervalo de convergência para
Pelo teste da série geométrica temos , ou seja, a série diverge.
Passo 5
Vamos avaliar o intervalo de convergência para
Da mesma forma que o caso anterior, temos , ou seja, a série diverge.
E, dessa forma, o intervalo de convergência é dado por: