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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 8

Encontre a primitiva mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.)

f x = x 2 - x 2

Passo 1

Fala aee, tranquilo? O enunciado nos da a seguinte função:

f x = x 2 - x 2

E pede pra a gente a sua primitiva mais geral. Vamos expandir essa função pra facilitar a nossa vida:

f x = x 3 - 4 x 2 + 4 x

Sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F ' x = f x

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Passo 2

Vamos então agora calcular, para achar a primitiva F da função f , temos que a antiderivada da função geral x n com n ≠ 1 são da forma:

x n + 1 n + 1

Se temos:

f x = x 3 - 4 x 2 + 4 x

Agora é só aplicar:

F x = x 3 + 1 3 + 1 - 4 x 2 + 1 2 + 1 + 4 x 1 + 1 1 + 1 + C

Chegamos em:

F x = x 4 4 + 4 3 x 3 + 2 x 2 + C

Passo 3

Vamos agora checar, para isso temos que derivar F x :

F x = x 4 4 + 4 3 x 3 + 2 x 2 + C

F ' x = 4 x 3 4 + 3 4 3 x 2 + 2 × 2 x

F x = x 3 - 4 x 2 + 4 x = f ( x )

Pronto, tá tudo certo!

Resposta

F x = x 4 4 + 4 3 x 3 + 2 x 2 + C

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