Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 69
Uma pedra é largada de um penhasco e atinge o solo com uma velocidade de pés/s. Qual a altura do penhasco?
Passo 1
Olá! Nessa questão, precisamos encontrar a altura de um penhasco, sabendo apenas que uma pedra foi solta de cima dele e atingiu o solo com uma velocidade de
Parece que não temos muitas informações, né? Mas vamos com calma. Relembrando alguns conceitos físicos, percebemos que temos mais informações para resolver a questão 😊.
- A pedra está em movimento de queda livre, então a única força atuando sobre ela é a força da gravidade (a gente pode ignorar resistência do ar, tá?), possuindo assim uma aceleração constante:
- A função velocidade é a derivada da função posição :
- A função aceleração é a derivada da função velocidade .
- A pedra possui uma velocidade inicial , pois é largada do penhasco parada.
- A posição inicial da pedra é a altura do penhasco, então .
- A posição final da pedra no tempo total de queda é zero, pois a pedra chegou ao solo. Então,
Então, a função posição é uma função que tem como derivada a função velocidade , e a função velocidade v é uma função que tem como derivada a função aceleração certo?
Mas dizer isso é a mesma coisa que dizer que as funções e são as antiderivada das funções e , respectivamente.
Dessa forma, para resolvermos a questão, precisamos responder duas perguntas:
- Qual é a função que tem como derivada a função ? Ou seja, quem é a antiderivada de ?
- Qual é a função que tem como derivada a função que encontrei para a pergunta anterior? Ou seja, quem é a antiderivada de ?
Como a função da posição da pedra vai nos ajudar? Bem, sabendo o tempo de queda da pedra, avaliamos a função nele e descobrimos a altura do penhasco. O tempo de queda deve ser encontrado também, pois não temos essa informação.
Vamos fazer o seguinte:
- Primeiro - encontrar a antiderivada da função aceleração e o tempo de queda .
- Segundo - encontrar a antiderivada da função velocidade encontrada e a altura do penhasco.
Espia só os próximos passos 👀!
Passo 2
Primeiro vamos calcular a antiderivada da aceleração dada por:
Temos uma função polinomial, e podemos usar a regra da potência, que diz o seguinte:
a antiderivada de uma potência é dada por
com uma constante qualquer, pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é:
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Usando isso, vamos ter que a antiderivada geral de é
com .
Como a velocidade inicial da pedra é zero () então podemos utilizar essa informação para encontrar um valor específico para constante , certo? Saca só:
ou seja,
Assim, a função que mede a velocidade da pedra é
e com ela conseguimos encontrar o tempo que a pedra leva até chegar no chão .
Passo 3
Bem, para encontrarmos o tempo que a pedra leva até chegar no chão , basta usarmos a informação de que a velocidade final da pedra ao atingir o solo é de pés/s (negativa, pois a pedra está se movendo para baixo). Saca só:
ou seja,
Passo 4
Agora, vamos calcular a antiderivada da velocidade encontrada no passo anterior:
O processo será bem parecido ao do Passo 2, beleza? Pois também é uma função polinomial. Usando a regra da potência, a antiderivada geral de é
onde podemos reescrever a expressão da direita, fazendo da seguinte forma:
Como a posição inicial da pedra é a altura do penhasco () então podemos utilizar essa informação para encontrar um valor específico para constante , certo?
ou seja,
Substituindo na expressão de encontramos que a função que dá a posição da pedra é
e com ela conseguimos encontrar a altura do penhasco.
Passo 5
Como e
então:
ou seja,
Como no Passo 3 descobrimos que , então:
Resposta
A altura do penhasco é pés. Esse valor é aproximado, pois utilizamos uma aproximação para a aceleração da gravidade.