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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 1

Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)

f x = 6 x 2 - 8 x + 3

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho por aí?

Bom, essa questão dá pra gente a função

f x = 6 x 2 - 8 x + 3

E pede pra gente encontrar sua antiderivada mais geral.

Para isso, precisamos lembrar que a antidevada é o processo inverso da derivação.

Então, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F ' x = f x

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = 6 x 2 - 8 x + 3

Perceba que ela é uma função polinomial, assim cada termo é uma potência de x .

Então para aplicar a antiderivada primeiro somamos 1 no expoente e dividimos pelo expoente resultante. Aí fica assim:

f x = x m ⇒ F x = x m + 1 m + 1

Devemos também acrescentar uma constante C na antiderivada, pois existem infinitas antiderivadas para cada função, já que se derivarmos

2 x 2 + 1

e

2 x 2 + 3

Por exemplo, temos em ambos os casos 4 x , já que o valor que não depende de x vai zerar. Então:

f x = x m ⇒ F x = x m + 1 m + 1 + C

Passo 3

Agora aplicamos o método para o polinômio:

f x = 6 x 2 - 8 x + 3

⇒ F x = 6 x 2 + 1 2 + 1 - 8 x 1 + 1 1 + 1 + 3 x 0 + 1 0 + 1 + C

⇒ F x = 6 x 3 3 - 8 x 2 2 + 3 x 1 + C

⇒ F x = 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x + C

Passo 4

Derivando, podemos verificar o resultado:

F ' x = 2 3 x 2 - 4 2 x + 3

= 6 x 2 - 8 x + 3 = f ( x )

Então F ( x ) é de fato a antiderivada de f ( x ) .

Resposta

F x = 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x + C

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