Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 21
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Passo 1
Fala galera, beleza? O enunciado da questão nos dá a segunda derivada
de uma função desconhecida , e pede para a gente encontrar quem é essa função
Para resolvermos a questão, precisamos responder à seguinte pergunta: qual é a função que se eu derivar duas vezes vou obter ?
Isso está parecendo muito com o conceito de antiderivada (ou primitiva). Você lembra dele? Se não, tudo bem! Vamos relembrar bem rapidinho.
Uma antiderivada (ou primitiva) da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Isto é:
Pensa aqui comigo, a derivada de é , certo? Assim como a derivada de é . Então, vamos precisar encontrar as duas antiderivadas abaixo:
- Primeiro, a antiderivada de , ou seja, é tal que
- Segundo, a antiderivada de , ou seja, é tal que
Faremos isso usando a Regra da Potência. Saca só como:
- A antiderivada de uma potência é dada por
com uma constante qualquer, pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é:
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Por conta da propriedade distributiva da derivada (Regra da Soma das derivadas), a ideia será usar essa igualdade para cada potência presente na função conhecida.
Já temos tudo o que precisamos para resolver essa questão 😊.
Nos próximos passos, vamos encontrar cada uma dessas antiderivadas e descobrir quem é a função
Passo 2
Primeiro vamos calcular a antiderivada da função dada:
Temos uma função polinomial, então usando a regra da potência:
Simplificando os termos, e somando as constantes de forma a termos , então
Para conferir se fizemos tudo certinho, vamos derivar a expressão obtida:
Ótimo! Confirmamos que a função encontrada é mesmo a antiderivada de .
Passo 3
Agora, vamos calcular a antiderivada da função encontrada no passo anterior:
O processo será bem parecido ao do Passo 2, beleza? Pois também é uma função polinomial. Usando a regra da potência para cada um dos seus termos:
Simplificando os termos, e somando as constantes de forma a termos
então
Conferindo se não fizemos nenhuma besteira:
Opa! Encontramos a antiderivada que estávamos procurando. Mais ainda, encontramos a função , resposta da questão🎉.
Resposta
A função procurada é dada por:
com e valores constantes.