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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 15

Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação

  1. sec 2 ⁡ x
  2. 2 3 ⋅ sec 2 ⁡ x 3
  3. - sec 2 ⁡ ( 3 2 x )

Passo 1

Como o exercício nos pede uma primitiva, vamos usar o raciocínio inverso da derivada e tentar achar uma função cuja derivada seja a função com a qual estamos trabalhando. Para as funções trigonométricas, mais especificamente o sec 2 ⁡ ( k x ) que é o caso que temos aqui tem se a seguinte regra

f x = sec 2 ⁡ ( k x ) → F x = 1 k ⋅ t g ⁡ ( k x ) + C

Como queremos apenas uma primitiva, vamos utilizar C = 0 .

Passo 2

Lembrando que estamos utilizando C = 0 , vamos aplicar nossa regra para encontrar uma primitiva em cada letra

f x = sec 2 ⁡ ( x ) → F x = 1 1 ⋅ tg ⁡ 1 ⋅ x = t g ( x )

g x = 2 3 ⋅ sec 2 ⁡ ( x 3 ) → F x = 2 3 ⋅ 1 1 3 ⋅ tg ⁡ x 3 = 2 ⋅ t g x 3

h x = - sec 2 ⁡ ( 3 2 x ) → F x = - 1 3 2 ⋅ tg ⁡ 3 2 x = - 2 3 ⋅ t g 3 2 x

Passo 3

Conferindo através da derivada vamos ter

F x = t g ( x ) → F ' x = 2 3 ⋅ sec 2 ⁡ ( x 3 )   = f ( x )

G x = - 2 3 ⋅ t g 3 2 x → G ' x = - sec 2 ⁡ ( 3 2 x ) = g ( x )

H x = 2 π ⋅ sen ⁡ π x +   π ⋅ sen ⁡ x → H ' x =   c o s π 2 x +   π ⋅ c o s ( x )

Resposta

  1. t g x
  2. 2 ⋅ t g x 3
  3. - 2 3 ⋅ t g 3 x 2
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