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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 14

Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)

h θ = sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos a seguinte função:

h θ = sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ

E queremos encontrar sua antiderivada, isso é, uma função H θ que quando derivamos resulta em h θ

H ' θ = h θ

E se𝐻 é uma antiderivada de h nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f é:

H θ + C

onde C é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a H θ não muda em nada sua derivada.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função H θ que quando derivamos encontramos h θ .

Nessa questão vai te ajudar relembrar qual a derivada da função secante:

1 cos ⁡ θ = sec ⁡ θ

Sua derivada é:

sec ⁡ θ ' = t g θ sec ⁡ θ

Passo 2

Queremos achar as funções H ( θ ) tais que H ' θ = h ( θ ) .

Antes de mais nada vamos trabalhar com a nossa função h θ

h θ = sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = s e n θ cos ⁡ θ ⋅ 1 cos ⁡ θ

Isso é nada mais nada menos que:

h θ = t g θ s e c θ

Como vimos no final do Passo 1, temos que a derivada da secante é:

sec ⁡ θ ' = t g θ sec ⁡ θ

Portanto, uma função que quando deriva resulta em h θ é:

H θ = sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

E na sua forma mais geral temos:

H θ = 1 cos ⁡ θ + C

Passo 3

Vamos provar o nosso resultado derivando, sendo:

H θ = 1 cos ⁡ θ + C

H θ = cos - 1 ⁡ θ + C

Sua derivada é portanto, pela regra da cadeia:

H ' θ = - 1 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ ' + 0

H ' θ = - 1 cos 2 ⁡ θ ( - sen ⁡ θ )

H ' θ = sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = h θ

Dessa forma provamos que H θ é a antiderivada de h θ .

Resposta

H θ = 1 cos ⁡ θ + C

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