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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 10

Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação

  1. 1 2 ⋅ x - 1 2
  2. - 1 2 ⋅ x - 3 2
  3. - 3 2 ⋅ x - 5 2

Passo 1

Como o exercício nos pede uma primitiva, vamos usar o raciocínio inverso da derivada e tentar achar uma função cuja derivada seja a função com a qual estamos trabalhando. De uma maneira geral, para funções do tipo potência podemos encontrar sua primitiva geral utilizando a regra

f x = x n → F x = 1 n + 1 ⋅ x n + 1 + C

Como queremos apenas uma primitiva, vamos utilizar C = 0 .

Passo 2

Lembrando que estamos utilizando C = 0 , vamos aplicar nossa regra para encontrar uma primitiva em cada letra

f x = 1 2 ⋅ x - 1 2 → F x = 1 2 ⋅ x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 = x 1 2

          g x = - 1 2 ⋅ x - 3 2 → G x = - 1 2 ⋅ x - 3 2 + 1 - 3 2 + 1 = x - 1 2

h x = - 3 2 ⋅ x - 5 2 → H x = - 3 2 ⋅ x - 5 2 + 1 - 5 2 + 1 = x - 3 2

Passo 3

Conferindo através da derivada vamos ter

F x = x 1 2 → F ' x = 1 2 ⋅ x 1 2 - 1 = 1 2 ⋅ x - 1 2 = f ( x )

G x = x - 1 2 → G ' x = - 1 2 ⋅ x - 1 2 - 1 = - 1 2 ⋅ x - 3 2 = g ( x )

H x = x - 3 2 → H ' x =   - 3 2 ⋅ x - 5 2 = h ( x )

Resposta

  1. x 1 2
  2. x - 1 2
  3. x - 3 2
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Encontre f . f ' ' x = cos ⁡ x
Encontre f . f ' ' x = 1 + x 4 5 .
Encontre f . f ' ' x = 3 x - 2 , f 1 = f - 1 = 0 .
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) f x = x 2 + x + 1 x
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) h θ = sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ