(a) Encontre a aproximação linear local da função f ( x )   = 1 + x em x 0   = 0 e use-a para aproximar 0,9 e 1,1

(b) Faça o gráfico de f e de sua reta tangente em x 0 e use-os para ilustrar a relação entre os valores exatos e as aproximações de 0,9 e 1,1

Passo 1

(a)

Sabemos perla Fórmula (1) que para aproximarmos usamos:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Fazendo pra f ( x ) = 1 + x em x 0 = 0 ,   teremos:

f x 0 = f 0 = 1 + 0 = 1

Achando a derivada da função:

f ` x = 1 + x ` = 1 2 1 + x   3    

  ⇒                 f ' x 0       =       f ' 0     =   1 2 1 + 0   3     =     1 2

Substituindo tudo isso dentro da Fórmula (2):

f x ≈ 1 + 1 2 ( x - 0 )

f x ≈ 1 +   1 2 x

Passo 2

Para aproximar 0,9 usando a expressão que encontramos, mas   f ( x ) = 1 + x , ou seja, vamos usar que x = - 0,1 , pois:

f ( - 0,1 ) = 1 + - 0,1 = 0,9

Colocando na expressão:

f - 0,1 = 0,9 ≈ 1 +   1 2 ( - 0,1 )

0,9 ≈ 0,95

Passo 3

Para aproximar 1,1 o pensamento vai ser análogo, colocaremos x = 0,1 pois:

f ( 0,1 ) = 1 + 0,1 = 1,1

Colocando na expressão:

f 0,1 = 1,1   ≈ 1 +   1 2 ( 0,1 )

1,1   ≈ 1,05

Passo 4

(b)

Os valores aproximados estão praticamente em cima dos valores exatos, o que indica ser uma aproximação muito boa 😊

Se dermos um ”zoom” para entender a aproximação, vamos ver que na verdade é mais ou menos assim:

Passo 5

Resposta

f x ≈ 1 +   1 2 x

0,9 ≈ 0,95

1,1   ≈ 1,05

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