Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 22

(a) Use a aproximação linear local de t g   x em x 0   =   0 para aproximar t g   2 ° e compare a aproximação ao resultado produzido diretamente por seu recurso computacional.

(b) Como deve ser escolhido x 0 para aproximar t g   61 ° ?

(c) Aproxime t g   61 ° e compare a aproximação ao resultado produzido diretamente por seu recurso computacional.

Passo 1

(b)

A Fórmula (1) diz que:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Para nossa função f x = t g   x   em x 0   =   0 vamos ter que:

f x 0 = f 0 = t g   0 = 0  

Derivando a expressão:

f ' x = t g   x   ' = sec ⁡ 0 2

f '   x 0 = f ' 0 = sec ⁡ 0 2 = 1

Substituindo todos esses dados na Fórmula (1)

f x = t g   x ≈ f x 0 + f ' x 0 x - x 0

Como x 0 = 0

t g   x ≈ f 0 + f ' 0 x - 0

t g   x ≈ 0 + 1 ( x - 0 )

t g   x ≈ x

Passo 2

Para x = 2 ° , lembrando de usar o ângulo em radianos:

t g   2 ° =   t g   π 90 ≈ π 90

t g   2 ° ≈ 0,0349065

Resultado por recurso computacional:

t g   2 ° = 0,034920

A diferença entre resultado exato e aproximado só aparece na quinta casa decimal.

Passo 3

(b) e (c)

Parece que x 0 = 60 ° é uma boa escolha, usando isso em:

t g   x ≈ f x 0 + f ' x 0 x - x 0

Ficamos com:

t g   x ≈ f 60 ° + f ' 60 ° x - 60 °

t g   x ≈ t g   60 ° + sec ⁡ 60 ° 2 x - 60 °

t g   x ≈ 3 + 4 x - 60 °

Fazendo x = 6 1 °

t g   x ≈ 3 + 4 61 ° - 60 °

t g   61 ° ≈ 3 + 4 1 °

Passando pra radianos:

t g   61 ° ≈ 3 + 4 π 180  

t g   61 ° ≈ 1,8018639

Resultado por recurso computacional:

t g   61 ° = 1 , 80404

A diferença entre resultado exato e aproximado só aparece na terceira casa decimal.

Resposta

(a) t g   2 ° ≈ 0,0349065

(b) x 0 = 60 °

(c) t g   61 ° ≈ 1,8018639

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Confirme que a fórmula dada é a aproximação linear local de f em x 0=1 , onde Δ x = x - 1 f = x;1 + Δ x ≈ 1 + 1 2 x
Confirme que a fórmula dada é a aproximação linear local em x 0=0 e use um recurso computacional para estimar um intervalo de valores de x no qual o erro na aproximação é de, no máximo, ± 0,1 . 1 1 +
Use uma aproximação linear local para estimar o valor da quantidade dada: 65
(a) Use a Fórmula (1) para obter uma aproximação linear local de x 3 em x 0=1 .(b) Use a Fórmula (2) para reescrever a aproximação obtida em (a) em termos de Δ x .(c) Use o resultado obtido em (a) par
Confirme que a fórmula dada é a aproximação linear local em x 0=0 e use um recurso computacional para estimar um intervalo de valores de x no qual o erro na aproximação é de, no máximo, ± 0,1 . t g2 x