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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 1

(a) Use a Fórmula (1) para obter uma aproximação linear local de x 3 em x 0   =   1 .

(b) Use a Fórmula (2) para reescrever a aproximação obtida em (a) em termos de Δ x .

(c) Use o resultado obtido em (a) para aproximar 1,02 3 e confirme que a fórmula obtida em (b) produz o mesmo resultado.

Passo 1

(a)

A Fórmula (1) diz que:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Aplicando ela em f x = x 3 , no ponto x 0 = 1 :

f x 0 =   f 1 = 1 3 = 1

f ' x = x 3 ' = 3 x 2                         ⇒                           f ' x 0 = f ' 1 = 3 1 2 = 3

Substituindo

f ( x ) ≈ f 1 + f ' 1 x - 1

Chegamos que a aproximação é:

f ( x ) ≈ 1 + 3 x - 1

Passo 2

(b)

A Fórmula (2) diz que:

f x 0 + Δ x ≈ f x 0 + f ' x 0   Δ x

Substituindo os dados que já achamos ali em cima em f x = x 3 , no ponto x 0 = 1 :

f 1 + Δ x ≈ 1 + 3   Δ x

Passo 3

(c)

Pra essa aproximação basta colocarmos x = 1,02 na equação da letra (a):

f ( x ) ≈ 1 + 3 x - 1

f 1,02 = 1,02 3 ≈ 1 + 3 1,02 - 1

1,02 3 ≈ 1 + 3 0 , 0 2

1,02 3 ≈ 1,06

Pelo resultado da letra (b):

f 1 + Δ x ≈ 1 + 3   Δ x

Usando que Δ x = 1,02 - 1 = 0,2

f 1 + 0,2 ≈ 1 + 3   0 , 0 2

f 1,02 = 1,02 3 ≈ 1,06

Os resultados batem 😊

Resposta

(a) f ( x ) ≈ 1 + 3 x - 1

(b) f 1 + Δ x ≈ 1 + 3   Δ x

(c) 1,06

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