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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 22

22. Encontre a área delimitada pelo eixo y e a curva:

x = t - t 2 ,   y = 1 + e t .

Passo 1

E aí, pessoal! Ficaram com dúvida nessa questão? Então, me acompanha aí.

Como a questão pede a área delimitada pelo eixo y e a curva x = t - t 2 ,   y = 1 + e t , vamos fazer o seguinte: primeiro, vamos tentar escrever x em termos de y , ou vice-versa. A primeira coisa a se notar é que agora vamos integrar em y . Assim,

A = ∫ a b x d y

Como temos que integrar da curva até o eixo y , que corresponde a x = 0 , então, vamos achar para qual valor de t isso ocorre:

x = t - t 2 = 0 ⇒ t = 0 , t = 1

Opa, então já encontramos o intervalo de integração: t = 0 a t = 1 .

Passo 2

Já temos a expressão para x , então precisamos agora obter d y :

y = 1 + e t ⇒ d y = e t d t

Agora é só substituir tudo na fórmula da área

A = ∫ 0 1 x d y = ∫ 0 1 t - t 2 e t d t   =   ∫ 0 1 t e t d t   - ∫ 0 1 t 2 e t d t

Passo 3

Vamos resolver cada integral separadamente, pois temos que usar integração por partes em cada uma deles:

∫ 0 1 t e t d t = t e t | 0 1 - ∫ 0 1 e t d t = e 1 - e t | 0 1 = e 1 - ( e 1 - e 0 ) = e 0 = 1

Se liga aí que nós já vamos utilizar o resultado da primeira para resolver a segunda:

∫ 0 1 t 2 e t d t = t 2 e t | 0 1 - 2 ∫ 0 1 t e t d t = 1 2 e 1 - 2 ⋅   1 = e - 2

Prontinho, conseguimos a da curva

A = ∫ 0 1 t - t 2 e t d t = 1   - ( e - 2 )   =   3   -   e

E você? Gostou desta resolução?

Resposta

A = 3 - e

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