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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 1

Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado.

r = e - θ / 4 ,     π 2 ≤ θ ≤ π

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado nos deu a seguinte equação dada em coordenadas polares:

r = e - θ / 4

Queremos calcular a área dessa curva delimitada no intervalo π 2 ≤ θ ≤ π .

Para isso, podemos aplicar a equação da área A :

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Agora boa lá!! 😉

Passo 2

Substituindo os limites de integração e a equação de r , temos:

A = ∫ π / 2 π 1 2 e - θ / 4 2 d θ

Elevando o termo ao quadrado:

A = ∫ π 2 π 1 2 e - 2 θ 4 d θ

Simplificando:

A = ∫ π 2 π 1 2 e - θ 2 d θ

Passo 3

Vamos primeiro resolver a integral definida e substituir o limite ao final:

∫ 1 2 e - θ / 2 d θ

Integrando, o - 1 / 2 que acompanha θ na exponencial irá descer como - 2 e a função exponencial permanece inalterada:

1 2 - 2 e - θ / 2 + c = - e - θ / 2 + c

Substituindo os limites:

A = - e - π / 2 + e - π / 4

Ajeitando os termos:

A = e - π / 4 - e - π / 2

Resposta

A = e - π / 4 - e - π / 2

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Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 1 - s e nθ
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 2s e n4 θ
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 3 - 2 cos ⁡ 4 θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = 4c o s 3 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva: r 2 = 8 c o s 2 θ r = 2