Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado.

r = e^(-θ/4), π/2 ≤ θ ≤ π

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado nos deu a seguinte equação dada em coordenadas polares:

r = e - θ / 4

Queremos calcular a área dessa curva delimitada no intervalo π 2 ≤ θ ≤ π .

Para isso, podemos aplicar a equação da área A :

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Agora boa lá!! 😉

Passo 2

Substituindo os limites de integração e a equação de r , temos:

A = ∫ π / 2 π 1 2 e - θ / 4 2 d θ

Elevando o termo ao quadrado:

A = ∫ π 2 π 1 2 e - 2 θ 4 d θ

Simplificando:

A = ∫ π 2 π 1 2 e - θ 2 d θ

Passo 3

Vamos primeiro resolver a integral definida e substituir o limite ao final:

∫ 1 2 e - θ / 2 d θ

Integrando, o - 1 / 2 que acompanha θ na exponencial irá descer como - 2 e a função exponencial permanece inalterada:

1 2 - 2 e - θ / 2 + c = - e - θ / 2 + c

Substituindo os limites:

A = - e - π / 2 + e - π / 4

Ajeitando os termos:

A = e - π / 4 - e - π / 2

Resposta

A = e - π / 4 - e - π / 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados