Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 12
Esboce a curva e encontre a área que ela encerra:
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado é bem direto aqui!! A gente quer esboçar a seguinte curva e calcular a área dela:
Lembra de como encontramos a área de uma curva polar?? Assim, olha:
A gente vai determinar os limites de integração ao analisar seu gráfico, certinho?? Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos plotar o nosso gráfico... mas vamos começar assim: primeiramente vamos plotar no plano cartesiano para entendermos melhor, certinho??
A nossa curva é bem parecida com a curva do cosseno.
Mas, analisando a diferença entre as duas, temos que a nossa tem uma soma em unidades (o que faz “subir” o gráfico em unidades) e o cosseno está negativo (o que nos faz inverter o gráfico).
Assim, temos:
Passando para o plano polar, no primeiro quadrante, podemos ver que ele sai do ponto e vai para o ponto , ou seja, ele aumenta sua amplitude de para da seguinte forma:
No segundo quadrante, ele aumenta sua amplitude para :
No terceiro quadrante, ele diminui sua amplitude para :
Por fim, no último quadrante, ele retorna para sua amplitude de tamanho :
Lembrando que como estamos utilizando coordenadas polares os valores de são positivos.
Passo 3
Agora vamos calcular a área!! 😉
Pelo gráfico, vemos que os extremos do intervalo do ângulo estão no intervalo .
Assim, aplicando na equação da área, temos:
Vamos primeiro resolver a integral indefinida para depois colocarmos os limites:
Expandindo o polinômio:
Pela linearidade da integral:
Utilizando a seguinte propriedade trigonométrica:
Ficamos com:
Integrando cada termo:
Tirando MMC:
Passo 4
E por fim, substituindo os limites:
Resposta
