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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 28

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 25-30.

28. x = ( 2 t + 3 ) 3 / 2 / 3 ,   y = t + t 2 / 2 ,   0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Fala, pessoal! Bora lá para mais uma questão?

Nessa questão temos que calcular o comprimento de uma curva e, para isso, temos que usar a fórmula

L = ∫ 0 3 d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, o roteiro vai ser o seguinte: calculamos as derivadas, depois a raiz quadrada e depois a integral. Acompanha aí os próximos passos!

Passo 2

Nesse passo, vamos calcular as derivadas

d x d t = d d t ( ( 2 t + 3 ) 3 / 2 3 ) = 3 2 2 ( 2 t + 3 ) 1 / 2 3 = ( 2 t + 3 ) 1 / 2  

d y d t = d d t ( t + t 2 2 ) = 1 + t  

Agora a gente calcula a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = 2 t + 3 + ( 1 + t ) 2 = 2 t + 3 + 1 + 2 t + t 2

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = t 2 + 4 t + 4 = ( t + 2 ) 2

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = t + 2

Passo 3

Como a raiz ficou bem simplificada, vai ser mais tranquilo para calcular a integral

L = ∫ 0 3 d x d t 2 + d y d t 2 d t = ∫ 0 3 ( t + 2 ) d t

L = ( t 2 2 + 2 t ) | 0 3 = 9 2 + 6 = 21 2

E aí, gostou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

L = 21 2

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