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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 28

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

28. r = 3 s e n θ , r = 2 - s e n θ

Passo 1

Olá, vou te ajudar a entender e a resolver mais uma atividade.

Dada as curvas parametrizadas:

r = 3 sin ⁡ θ

r = 2 - sin ⁡ θ

Devemos encontrar a área da região que está dentro de uma figura e fora da outra figura.

A imagem abaixo mostra as duas curvas:

Sendo a curva de vermelho a:

r = 2 sin ⁡ θ

E a de azul:

r = 2 - sin ⁡ θ

A região estará dentro da curva vermelha e fora da curva azul.

Precisamos encontrar o intervalo em que faremos a integração, para isso, basta encontrarmos os pontos de interseção entre as duas curvas, eles serão os limites de integração.

Veja também que a área que queremos é a área da figura vermelhe:

r = 2 sin ⁡ θ

Menos a área da figura azul:

r = 2 - sin ⁡ θ

A integral da área:

A = ∫ a b 1 2 f ( θ ) 2 - g θ 2 d θ

Passo 2

Vamos igualar as duas equações das curvas para encontrarmos esses pontos:

3 s e n θ = 2 - s e n θ

s e n θ = 1 2

θ = π 6   e   θ = 5 π 6

A integral da área:

A = ∫ a b 1 2 f ( θ ) 2 - g θ 2 d θ

Será:

A = ∫ π 6 5 π 6 1 2 ( 3 s e n θ ) 2 - ( 2 - s e n θ ) 2 d θ

Passo 3

Vamos resolver a integral indefinida primeiro, e depois a gente aplica os limites:

∫ 1 2 ( 3 s e n θ ) 2 - ( 2 - s e n θ ) 2 d θ

Expandindo os polinômios:

∫ 1 2 9 s e n 2 θ - 4 + 4 s e n θ - s e n 2 θ d θ = ∫ 1 2 8 s e n 2 θ + 4 s e n θ - 4 d θ

∫ 1 2 9 s e n 2 θ - 4 + 4 s e n θ - s e n 2 θ d θ = ∫ 4 s e n 2 θ + 2 s e n θ - 2 d θ

Pela relação trigonométrica:

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ 2

Ficamos com:

∫ 2 1 - c o s 2 θ + 2 s e n θ - 2 d θ

Integrando:

∫ 1 2 ( 3 s e n θ ) 2 - ( 2 - s e n θ ) 2 d θ = 2 θ - s e n 2 θ - 2 c o s θ - 2 θ + c

∫ 1 2 ( 3 s e n θ ) 2 - ( 2 - s e n θ ) 2 d θ = - s e n 2 θ - 2 c o s θ + c

Passo 4

Substituindo os limites de integração:

A = - s e n 2 θ - 2 c o s θ π 6 5 π 6

A = - s e n 2 5 π 6 - 2 cos ⁡ 5 π 6 - - s e n 2 π 6 - 2 cos ⁡ π 6

A = 3 3

Resposta

A = 3 3

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Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = 2s e n 5 θ
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 2s e nθ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = s e n 4 θ
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 1 + c o s 2 ( 5 θ )
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 3 + 2 cos ⁡ θ