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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.4 - Ex. 7

Para x = ∫ 0 y t g   t   d t ,       0 ≤ y ≤ π 3 ;   eixo y :

  1. Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.
  2. Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, faça também o gráfico da superfície .
  3. Use seu program gráfico ou programa para calcular integrais e determine a área da superfície numericamente.

Passo 1

  1. Por definição temos que se a x = g y ≥ 0   é continuamente derivável em [ c , d ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva x = g ( y ) em torno do eixo y é:

    2. S = ∫ c d 2 π g ( y ) 1 + g ' y 2   d y

    Assim, temos que:

    S = ∫ 0 π 3 2 π   ( ∫ 0 y t g   t   d t ) 1 + y ) ) 2       d y = 2 π ∫ 0 π 3 s e n   y 1 + ( y )     d y

    = 2 π ∫ 0 π 3 ( ∫ 0 y t g   t   d t ) s e c 2 y   d y =   2 π ∫ 0 π 3 ( ∫ 0 y t g   t   d t ) s e c   y   d y

    Observe que:

    g ' y = t g   t y 0 = t g   y - t g   0 = t g   y

    Passo 2

  2. Você pode utilizar a calculadora gráfica do Symbolab ou o GeoGebra.

    3. Passo 3

  3. Você pode utilizar o WolframAlpha ou o Symbolab. Obtém-se que S ≈ 2,08 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x. 8 .y = 5 - x ,3 ≤ x ≤ 5
(a) Configure uma integral para a área da superfície obtida por girar a curva em torno de (i) o eixo x e (ii) o eixo y . 5 . x = y + y 3 ,0 ≤ y ≤ 1
Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x. 7 .y = x 3 ,0 ≤ x ≤ 2
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . y = 1 + 4 x ,1 ≤ x ≤ 5
(a) Configure uma integral para a área da superfície obtida por girar a curva em torno de (i) o eixo x e (ii) o eixo y . 6 .y = tan - 1 ⁡ x ,0 ≤ x ≤ 2