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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 26

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Passo 1

Oii pessoal, show de bola??

“A loucura é como a gravidade, só precisa de um empurrãozinhooo...”

Bora empurrar e macetar essa questãozinha comigo agora

A questão pede para encontrar a área do maior retângulo que pode ser desenhado dentro de uma elipse, ou seja, um retângulo cujos vértices tocam a elipse em pontos distintos.

A equação da elipse é dada como

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

onde ( a )   e   ( b ) são os comprimentos dos semi-eixos maior e menor da elipse, respectivamente.

Nós sabemos que a área do retângulo é dada pelo produto da base pela altura.

Se chamarmos a base de  2 x  e a altura de  2 y , teremos:

A = 4 x y

E nós queremos que essa área seja máxima.

Então, o que nós vamos fazer é isolar uma das variáveis na equação da elipse e substituir na equação de área do retângulo.

Depois, vamos encontrar os pontos de máximo dessa função, derivando e igualando a zero para obter os pontos críticos e avaliando eles dentro da função.

Passo 2

Para encontrar o maior retângulo possível dentro da elipse, precisamos considerar um retângulo cujos lados são paralelos aos eixos coordenados.

Vamos usar a simetria da elipse e a geometria analítica para nos ajudar.

Coordenadas dos Vértices do Retângulo

Os vértices do retângulo serão

  x ,   y ,   - x ,   y ,   x ,   - y ,   e     - x ,   - y .

Esses pontos precisam estar na elipse, portanto, devem satisfazer a equação da elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Uso de Multiplicadores de Lagrange

Para encontrar os pontos ( x )   e   ( y )   que maximizam ( x y ) , usamos o método dos multiplicadores de Lagrange.

Consideramos a função objetivo ( f x ,   y =   x y ) e a restrição

g x , y = x 2 a 2 + y 2 b 2 - 1 = 0

Passo 3

Formulando o Problema com Lagrange

Definimos a função de Lagrange:

L x , y , λ = x y + λ 1 - x 2 a 2 - y 2 b 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:

∂ L ∂ x = y - λ 2 x a 2 = 0

∂ L ∂ x = y - λ 2 x b 2 = 0

∂ L ∂ x = 1 - x 2 a 2 - y 2 b 2 = 0

Passo 4

Resolvido o Sistema de Equações

Das duas primeiras equações, resolvemos \(\lambda\):

λ = a 2 y 2 x = b 2 x 2 y

Multiplicamos ambos os lados por ( 2 x y ) :

a 2 y 2 = b 2 x 2

y x 2 = b 2 a 2

y x = ± b a

Escolhemos a solução positiva:

y = b a x

Passo 5

Substituímos

y = b a x

na equação da elipse:

x 2 a 2 + b a x 2 b 2 = 1

x 2 a 2 + b 2 x 2 a 2 b 2 = 1

x 2 a 2 + x 2 a 2 = 1

2 x 2 a 2 = 1

x 2 = a 2 2

x = a 2

Passo 6

Então,

y = b a x

= b a ⋅ a 2

= b 2

Calculando a Área Máxima

Finalmente, a área máxima do retângulo é:

A = 4 x y

= 4 a 2 b 2

= 4 ⋅ a b 2

= 2 a b

Portanto, a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse é ( 2 a b ) .

“Faça seus medos terem medo de você”

Resposta

Portanto, a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse é ( 2 a b ) .

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