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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 58

Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas

y = sin 3 ⁡ ( x ) ,     y = cos 3 ⁡ ( x ) ,     π / 4 ≤ x ≤ 5 π / 4

Passo 1

Pra facilitar a visualização, podemos esboçar um gráfico das duas funções ( cos 3 ⁡ x → v e r d e   ,   s e n 3 x → c i n z a )

Então, podemos ver que a área delimitada pelas curvas pode ser escrita como uma função g tal que

g x = sin 3 ⁡ x - cos 3 ⁡ ( x ) ,     π 4 ≤ x ≤ 5 π 4

Passo 2

Agora, podemos encontrar a área da região delimitada pela função g (pelas duas curvas) tomando a integral no intervalo dado

A r e a = ∫ π 4 5 π 4 sin 3 ⁡ x - cos 3 ⁡ ( x ) d x

Podemos separar esta integral em duas da seguinte maneira

∫ π 4 5 π 4 sin 3 ⁡ x - cos 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ π 4 5 π 4 sin 3 ⁡ ( x ) d x - ∫ π 4 5 π 4 cos 3 ⁡ ( x ) d x

Passo 3

Vamos calcular separadamente cada integral.

Calculando a primeira

∫ π 4 5 π 4 sin 3 ⁡ ( x ) d x

Para resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

cos 2 ⁡ ( x ) + sin 2 ⁡ ( x ) = 1

Substituindo

∫ π 4 5 π 4 sin 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ π 4 5 π 4 sin 2 ⁡ ( x ) sin ⁡ x d x = ∫ π 4 5 π 4 1 - cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x

Seja u = cos ⁡ x , temos que d u = - sin ⁡ x d x . Vamos calcular os novos limites de integração

u i n f e r i o r = cos ⁡ π 4 = 2 2

u s u p e r i o r = cos ⁡ 5 π 4 = - 2 2

∫ π 4 5 π 4 1 - cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x = - ∫ 2 2 - 2 2 1 - u 2 d u = ∫ - 2 2 2 2 1 - u 2 d u = u - 1 3 u 3 - 2 2 2 2 = 2 2 - 1 3 2 2 3 - - 2 2 - 1 3 - 2 2 3 = 5 2 6

Passo 4

Calculando a segunda

∫ π 4 5 π 4 cos 3 ⁡ ( x ) d x

Para resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

cos 2 ⁡ ( x ) + sin 2 ⁡ ( x ) = 1

Substituindo

∫ π 4 5 π 4 cos 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ π 4 5 π 4 cos 2 ⁡ ( x ) cos ⁡ x d x = ∫ π 4 5 π 4 ( 1 - sin 2 ⁡ x ) cos ⁡ x d x

Seja u = sin ⁡ x , temos que d u = c o s ⁡ ( x ) d x . Vamos calcular os novos limites de integração

u i n f e r i o r = sin ⁡ π 4 = 2 2

u s u p e r i o r = sin ⁡ 5 π 4 = - 2 2

∫ π 4 5 π 4 ( 1 - sin 2 ⁡ x ) cos ⁡ x d x = ∫ 2 2 - 2 2 ( 1 - u 2 ) d u = u - 1 3 u 3 2 2 - 2 2 = - 5 2 6

Passo 5

Podemos agora substituir o que calculamos na expressão

∫ π 4 5 π 4 sin 3 ⁡ ( x ) d x - ∫ π 4 5 π 4 cos 3 ⁡ x d x = 5 2 6 - - 5 2 6 = 10 2 6 = 5 2 3

Resposta

A r e a = 5 2 3

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